数学建模中常用到得概率模型模型

第九章 概率模型9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 随机存贮策略 9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型

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随机模型

确定性因素和随机性因素

随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型

随机性模型 马氏链模型

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9.1 传送系统的效率背 景传送带 挂钩 产品 工作台

工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走, 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走,若工 作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多. 作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多. 在生产进入稳态后, 在生产进入稳态后,给出衡量传送带效 率的指标,研究提高传送带效率 传送带效率的途径 率的指标,研究提高传送带效率的途径

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问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转,应假 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转, 生产周期相同, 定工人们的生产周期相同 定工人们的生产周期相同,即每人作完一件产品 后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产 要么恰有空钩经过他的工作台, 品挂上运走,要么没有空钩经过, 品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产. 件产品并立即投入下件产品的生产. 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例 作为衡量传送带效率的数量指标. 比例, 总数的比例,作为衡量传送带效率的数量指标. 工人们生产周期虽然相同,但稳态下每人生产 工人们生产周期虽然相同, 完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的, 完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的, 任一时刻的可能性相同. 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同.

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模型假设1)n个工作台均匀排列,n个工人生产相互独立, ) 个工作台均匀排列, 个工人生产相互独立 个工作台均匀排列 个工人生产相互独立, 生产周期是常数; 生产周期是常数; 2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在 )生产进入稳态, 一个周期内是等可能 等可能的 一个周期内是等可能的; 3)一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 )一周期内 个均匀排列的挂钩 个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的; 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的; 4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 )每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统. 若该钩非空,则

这件产品被放下,退出运送系统.

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模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数(记作 定义传送带效率为一周期内运走的产品数(记作s, 传送带效率为一周期内运走的产品数 待定) 待定)与生产总数 n(已知)之比,记作 D=s /n (已知)之比, 工人考虑还是从挂钩考虑 哪个方便? 考虑还是从挂钩考虑, 为确定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个方便? 若求出一周期内每只挂钩非空的概率 ,则 s=mp 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p, 如 何 求 概 率 设每只挂钩为空的概率为q,则 p=1-q 设每只挂钩为空的概率为 , 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r, 设每只挂钩不被一工人触到的概率为 ,则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u, 设每只挂钩被一工人触到的概率为 ,则 r=1-u 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 一周期内有 个挂钩通过每一工作台的上方 p=1-(1-1/m)n D=m[1-(1-1/m)n]/n

u=1/m

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模型解释传送带效率(一周期内运走 传送带效率 一周期内运走 m 1 n D = [1 (1 ) ] 产品数与生产总数之比) 产品数与生产总数之比) n m 一周期运行的)挂钩数 远大于工作台数n, 若(一周期运行的 挂钩数 远大于工作台数 则 一周期运行的 挂钩数m远大于工作台数

m n n ( n 1) n 1 D ≈ [1 (1 + )] = 1 2 n m 2m 2m定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比) 一周期内未运走产品数与生产总数之比) 定义 一周期内未运走产品数与生产总数之比 远大于1时 成正比, 当n远大于 时, E ≈ n/2m ~ E与n成正比,与m成反比 远大于 与 成正比 成反比 增加m 若n=10, m=40, 提高效率 增加 D≈87.5% (89.4%) ≈ 的途径: 的途径: 习题 习题1

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9.2 报童的诀窍报童售报: 零售价 零售价) 购进价) 退回价) 报童售报: a (零售价 > b(购进价 > c(退回价 购进价 退回价

问 售出一份赚 a-b;退回一份赔 b-c ; 题 分 购进太少→不够销售→赚钱少 购进太少→不够销售→ 析应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 购进太多→卖不完退回→ 购进太多→卖不完退回→赔钱

每天购进多少份可使收入最大? 每天购进多少份可使收入最大? 存在一个合 适的购进量

每天收入是随机的

优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望

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准 备 建 模

调查需求量的随机规律——每天 每天 调查需求量的随机规律 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 设每天购进 n 份,日平均收入为 G(n) 已知售出一份赚 a-b;退回一份赔 b-c ;

r ≤ n 售出 r 赚 ( a b ) r 退回 n r 赔 (b c )( n r )r > n 售出n 赚(a b)n

G(n) = ∑[(a b)r (b c)(n r)] f (r ) + ∑ (a b)nf (r)r =0 r =n+1

n

∞

求 n 使 G(n) 最大

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求解n

将r视为连续变量 视为连续变量

f (r ) p (r ) (概率密度)∞

G(n) =

∫0 [(a b)r (b c)(n r)]p(r)dr + ∫n (a b)np(r)drdG ( a b ) np ( n ) n (b c ) p ( r ) dr = ∫0 dn ∞ (a b)np(n) + ∫ (a b) p(r )drn

= (b c) ∫ p(r )dr + (a b) ∫ p(r )dr0 n

n

∞

dG =0 dn

∫ p ( r ) dr = a b b c ∫ p ( r ) dr0 ∞ n

n

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结果解释n

∫ p ( r ) dr = a b b c ∫ p ( r ) dr0 ∞ n

n

∫ p ( r ) dr = P , ∫ p ( r ) dr = P0 1 n

∞

2

P1 a b 取n使 使 = P2 b ca-b ~售出一份赚的钱 售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱 退回一份赔的钱

p

P1 0

P2 n r

(a b) ↑ n ↑, (b c) ↑ n ↓

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9.3 随机存贮策略问 题以周为时间单位;一周的商品销售量为随机; 以周为时间单位;一周的商品销售量为随机; 周末根据库存决定是否订货,供下周销售. 周末根据库存决定是否订货,供下周销售. (s, S) 存贮策略 制订下界s, 上界S,当周末库存小于s 时订货, 制订下界 上界 ,当周末库存小于 时订货, 使下周初的库存达到S; 否则,不订货. 使下周初的库存达到 否则,不订货. 考虑订货费,存贮费,缺货费,购进费, 考虑订货费,存贮费,缺货费,购进费,制订 存贮策略, 平均意义下) (s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小

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模型假设 每次订货费 0, 每件商品购进价 1,每件商品 每次订货费c 每件商品购进价c 每件商品 一周贮存费c 每件商品缺货损失费 每件商品缺货损失费c 一周贮存费 2,每件商品缺货损失费 3 (c1<c3) 每周销售量 r 随机,连续,概率密度 p(r) 随机,连续, 周末库存量 订货量 u, 周初库存量 x+u 周末库存量x, 每周贮存量按 x+u-r 计

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建模与求解

(s, S) 存贮策略

x≥su=0

x < s u > 0, x + u = S

确定(s, 使目标函数——每周总费用的平均值最小 确定 S), 使目标函数 每周总费用的平均值最小 s ~ 订货点, S ~ 订货值 订货点, 订货费c 购进价c 贮存费c 缺货费c 订货费 0, 购进价 1, 贮存费 2, 缺货费 3, 销售量 r 平均 费用

c 0 + c 1 u + L ( x + u ), J (u ) = L( x)x ∞

u>0 u=0

L ( x ) = c 2 ∫0 ( x r ) p ( r ) dr + c3 ∫x ( r x ) p ( r ) dr

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建模与求解 建模与求解 1)设 x<s, 求 u 使 ) J(u) 最小,确定 最小,确定S

c 0 + c 1 u + L ( x + u ), J (u ) = L(x)x ∞

u >0 u =0

L(x) = c2 ∫0 (x r) p(r)dr + c3 ∫x (r x) p(r)dr

x+u = S

x+u ∞ dJ = c1 + c 2 ∫0 p ( r ) dr c 3 ∫x + u p ( r ) dr du

∫ p ( r ) dr = 10

∞

= (c1 + c2 )∫0 p(r )dr (c3 c1 )∫S p(r )drSS

∞

dJ =0 du

1 ∫ p ( r ) dr = c c = P 2 ∫ p ( r ) dr c + c P0 ∞ S 3 1 2 1

p

c3 ↑ S ↑, c2 ↑ S ↓

P1 0

P2 S

r

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建模与求解2)对库存 x, ) , 确定订货点s 确定订货点

c 0 + c 1 u + L ( x + u ), J (u ) = L(x)x ∞

u >0 u =0

L(x) = c2 ∫0 (x r) p(r)dr + c3 ∫x (r x) p(r)dr

若订货u, 若订货 u+x=S, 总费用为 J 1 = c 0 + c1 ( S x ) + L ( S ) 若不订货, 若不订货, u=0, 总费用为 J 2 = L ( x )

J 2 ≤ J1不订货

L ( x )

≤ c0 + c1 ( S x ) + L ( S )

c1 x + L ( x ) ≤ c0 + c1 S + L ( S )I ( x ) ≤ c0 + I ( S )

记 c1 x + L( x) = I ( x)

订货点 s 是 I ( x ) = c0 + I ( S ) 的最小正根

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建模与求解

最小正根的图解法 I ( x) = c0 + I (S ) 最小正根的图解法u > 0 u = 0

c 0 + c 1 u + L ( x + u ), J (u ) = L(x)x ∞

I (x) = c1x + L(x)

L(x) = c2 ∫0 (x r) p(r)dr + c3 ∫x (r x) p(r)drJ(u)在u+x=S处达到最小 在 处达到最小 J(u)与I(x)相似 与 相似 I(x)在x=S处达到最小值 在 处达到最小值I(S) 处达到最小值 I(x)图形 图形 I(S)I(x) I(S)+c0 I(S) 0 s S x

I ( x) = c0 + I (S ) 的最小正根 s

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9.4 轧钢中的浪费背 景随机因 素影响 轧制钢材 两道工序 粗轧 粗轧 热轧 ~ 形成钢材的雏形 粗轧(热轧 热轧) 精轧 冷轧 ~ 得到钢材规定的长度 精轧(冷轧 冷轧) 粗轧钢材长 度大于规定 精轧 粗轧钢材长 度小于规定 整根报废 切掉多余 部分

钢材长度正态分布 均值可以调整 方差由设备精度确定

问题:如何调整粗轧的均值, 问题:如何调整粗轧的均值,使精轧的浪费最小

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分析

设已知精轧后钢材的规定长度为 l, , 粗轧后钢材长度的均方差为 σ

记粗轧时可以调整的均值为 m,则粗轧得到的 , 钢材长度为正态随机变量, 钢材长度为正态随机变量,记作 x~N(m, σ 2)

P = P ( x ≥ l ) P′ = P ( x < l )切掉多余部 分的概率 整根报废 的概率p(概率密度 概率密度) 概率密度

m ↑ P ↑, P ′ ↓m ↓ P ↓, P ′ ↑存在最佳的m使总的浪费最小 存在最佳的 使总的浪费最小 0P P l

P P m m

x

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建模

选择合适的目标函数 整根报废 的浪费l

总浪费 = 切掉多余部分 + 的浪费∞

W = ∫l ( x l ) p( x)dx + ∫∞ xp( x)dx

= ∫ ∞ xp ( x ) dx ∫l lp ( x ) dx = m lP∞ ∞

粗轧一根钢材平均浪费长度 粗轧N根 粗轧 根 总长度mN 总长度 成品材 PN根 根 成品材长度l 成品材长度 PN

mN lPN = m lP N

共浪费长度 mN-lPN

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建模

选择合适的目标函数

mN lPN = m lP 粗轧一根钢材平均浪费长度 N mN lPN m = l 得到一根成品材平均浪费长度 PN P m 更合适的目标函数 记 J ( m) = P ( m)P ( m ) = ∫l p ( x ) dx , p ( x ) =∞

粗轧N根 粗轧 根得成品材 PN根 根

1 e 2π σ

( x m )2 2σ 2

优化模型: 最小(已知l 优化模型:求m 使J(m) 最小(已知 ,σ )