高考数学立体几何题怎么解

高考数学立体几何题怎么解

立体几何题怎么解

高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90° 讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为a2,从而只要算出四棱锥的高就行了.

PB 面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=3a,

13

33

V锥

3a a

2

a.

3

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

AE CE, CED 90 ,故 CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

22

a OA AE AD a.

222

2OA)

在 AEC中,cos AEC AE EC (2 OA) (AE 2OA)(AE 0. 2

2AE ECAE

故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°. 定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一

例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC

，C点到AB1的距离为CE=

32

，D为AB的中点.

（1）求证：AB1⊥平面CED；

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（2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角.

讲解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1

∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=

32

，AC=1 , ∴CD=

2

2

2212

.

∴DE (CE) (CD) ；

（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=∴∠B1AC=600 ∴AB1

1cos60

2

32

，BC=AC=1,

2， ∴BB1 (AB1) (AB)

22

2,

∴ tg B1CB

BB1BC

2 , ∴ B1CB arctg

2.

作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例3 如图a—l— 是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在 内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在 内， ABC是等腰直角三角形∠ACB=90. （I）求三棱锥D—ABC的体积；

（2）求二面角D—AC—B的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角.

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讲解: (1) 过D向平面 做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

AB AD,OA为DA在平面 上的射影, AB OA DAE为二面角a—l— 的

平面角. DAE 120 , DAO 60 . AD AB 2, DO 3.

ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2. S ABC 1,又D到平面 的距离DO=3.

VD ABC

33

.

（2）过O在 内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

OAM CAE 45, OM

22

. tg DMO 6. DMO arctg6.

（3）在 平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. AB AF, CF AF CF DF,又 CAF 45,即 ACF为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, AF CF 1.

DF

2

AD

2

AF

2

2AD AFcos120

7. tg DCF

DFCF

7. tg DCF 7.

异面直线AB,CD所成的角为arctg7.

比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.

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例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

图① 图②

讲解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为a 2

V(x)

34

x (a 2x)(0 x

2

3x

,

a23

)

34

143

43x (a 23x)(a 23x)

当且仅当

116

(

43x a 23x a 23x

3

318

)

a

3

3

a

3

54

.

43x a 23x,即x

318

a时,Vmax

54

..

3

故当容器的高为

a

时，容器的容积最大，其最大容积为a.

54

对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还 …… 此处隐藏：2923字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……