全国2006年7月自考复变函数与积分变换答案

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全国2006年7月自考复变函数与积分变换答案

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.arg(2-2i)=（ B ）

A. 3 4

B. 4

C.

D.

3 4 4

2.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ A ） A.直线 B.圆周 C.椭圆

D.双曲线

3.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ D ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z

D.e2x 4.下列集合为无界多连通区域的是（ C ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.3

2

argz 2 5.设f(z)=ex(xcosy+aysiny)+iex(ycosy+xsiny)在Z平面上解析，则a=（ A.-3 B.-1 C.1

D.3

6.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，u(x,y)=x2-y2+x，则v(x,y)=（A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y

7.

z|

dz

（ A ）

2

(z i)2|A.0 B.1 C.2π D.2πi

8.

cosz

dz （ |z 1

| 2

z D ） A.0 B.1

B ） C ）

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第 2 页 C.2π D.2πi

9.⎰+=i

220zdz 　　（ D ）

A.i

B.2i

C.3i

D.4i

10.设f(z)=1z z

22-，则Res[f(z),1]=（ B ）

A.0

B.1

C.π

D.2π 11.处在0z )i z )(2z (1

)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（ B

） A.0 B.1

C.2

D.3

12.z=2i 为函数222z

)4z (z e

)z (f +=的（ C ）

A.可去奇点

B.本性奇点

C.极点

D.解析点 13.2)1z (z 1

)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（ D ）

A.∑∞=-0n n n z )1(

B.∑∞

=-0

n n 2z )1z (1

C.∑∞=--0n n n )1z ()1(

D.∑∞

=---0

n 2n n )1z ()1(

14.线性变换z 1z

2+=ω（ A ）

A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0

B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1

C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0

D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

15.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（ C ）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

16.若i 3i 1z -+=，则z

17.若sinz=0，则z=()k k π为任意整数.

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18.设f(z)

sin

d ,(|z| 3),L:| | 3，则f(z) . L z

19.幂级数

3

n 0

n

n

zn的收敛半径是20.映射

1z

是关于____的对称变换.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.解方程z4=-1.

2k

4

z4 1 z

e

i

k( 0,1,2,3)

i4

i,(k 0) e 22 34ie i,(k 1) 22 5

e4i i,(k 2) 22 7

4i

e i,(k 3) 22

22.已知调和函数u=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式.

解： u(x,y) (x y)(x2 4xy y2) ux 3x2 6xy 3y2,uy 3x2 6xy 3y2 f (z) ux ivx ux iuy

2 6xy 3y2 i(3x2 6xy 3y2)

3(x2 y2 2xyi) 3i(x2 y2 2xyi) 3z 3iz 3(1 i)z

2

2

2

23.设f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，试确定m、n的值.

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解： u(x,y) my2 nx2y,v(x,y) x3 3xy2

ux 2nxy,uy 2my nx2;vx 3x2 3y2,vy 6xy ux=vy 2n 6 n 3由f(z)解析

uy vx m 3/2

分IC

24.求积

32

）dz的值，其中C:|z|=4为正向. z 2z i

解： z=2,i都在积分曲线C内，

32

原式= Cz-2 Cz idz 2 i 3 2 i 2 10 i.

I25.求积分

ez 3z4

C

dz的值，其中C:|z|=1为正向.

2 iz i 解： z=0在积分曲线C内， 原式 e 3 .26.利用留数计算

3!3z 0

积分I

4

(z 1)(z 4)|z| 2

ez

dz.

ez

解： 被积函数f(z) 在|z| 2内的孤立奇点为：z=1(一级极点)；4

(z 1)(z 4)eze

而Res[f(z),1] lim(z 1)f(z) lim

z 1z 1(z 4)454eze2 e

I dz 2 i 4i44 (z 1)(z 4)55|z| 2

f(z)

1

在z 0展开为泰勒级数.

(z 1)(z 2)

27.将函数

11111

解：f(z) = ( 1)nzn

(z 1)(z 2)z 1z 2n 021 z

2

( 1)nzn

n 0

11 nn z n ( 1)=( 1)1 z n 1 2n 02 2 n 0

n

28.将函

数f(z)

1

在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.

z(z 1)

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1

解:1<|z-1|<+ <1

z-1

11111

f(z)

z(z 1)z-1zz-1z 1 11111 1nn ( 1)() z-1(z 1)(1 1)z-1z-1n 0z 1

z 1

1n ( 1)n 0(z 1)n 2

四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题。每小题10分，共20分）

ei2z

29.（1）求f(z) 在上半平面的所有孤立奇点；

4 z2

ei2z2

解：由f(z) ，令4 z 0 z 2i

2

4 z

为f(z)

ei2z4 z2

在上半平面的所有孤立奇点，且为一级奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

ei2ze 4

解：Res[f(z),2i] lim(z 2i)f(z) lim ;

z 2iz 2i

z 2i4i

（3）利用以上结果计算积分I

cos2x

x 4

2

dx.

ei2ze 4

解：Res[f(z),2i] lim(z 2i)f(z) lim ;

z 2iz 2i

z 2i4i

30.设D是Z平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射： （1）ω1=f1(z)把D映射 …… 此处隐藏：1679字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……