第五章 大数定律与中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理第一节 大数定律 第二节 中心极限定理

第5章概述 章概述 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 使用极限 研究大量随机现象统计规律性. 研究大量随机现象统计规律性 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 大量重复试验的平均结果具有稳定性 一系列定律都称为大数定律 一系列定律都称为大数定律. 大数定律 论证随机变量(试验结果) 论证随机变量(试验结果)之和渐进服从某 随机变量 一分布的定理称为中心极限定理. 的定理称为中心极限定理 一分布的定理称为中心极限定理

切比雪夫不等式定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) = µ, 方差 D( X ) = σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ P{ X µ ≥ ε } ≤ 2 ε 成立.证明 对连续型随机变量的情况来证明. 对连续型随机变量的情况来证明2

设 X 的概率密度为 f ( x), 则有

P{ X µ ≥ ε }=

∫

x µ ≥ε

f ( x)dx ≤ ∫ x µ ≥ ε

x µ ε2

2

f ( x)dx

1 ∞ 1 2 2 ≤ 2 ∫ ( x µ) f ( x)dx = 2 σ . ε ε ∞得

σ2 σ P{ X µ ≥ ε} ≤ 2 P{ X µ < ε} ≥ 1 2 . ε ε 定理说明,由随机变量的数学期望和方差, 定理说明,由随机变量的数学期望和方差,也可以 对随机变量取值的统计规律提供一些信息. 对随机变量取值的统计规律提供一些信息.

σ P{ X µ ≥ ε} ≤ 2 . ε2

2

在每次试验中,事件 发生的概率为0.5. 事件A发生的概率为 例1 在每次试验中 事件 发生的概率为 (1)利用切比雪夫不等式估计在 利用切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中 次独立试验中, 利用切比雪夫不等式估计在 次独立试验中 事件A发生的次数在 之间的概率; 事件 发生的次数在400 ~ 600之间的概率 发生的次数在 之间的概率 (2)要使 出现的频率在 要使A出现的频率在 要使 出现的频率在0.35 ~ 0.65之间的概率不小 之间的概率不小 于0.95, 至少需要多少次重复试验 至少需要多少次重复试验? 表示1000次独立试验中事件 发生的次数 次独立试验中事件A发生的次数 解: 设X表示 表示 次独立试验中事件 发生的次数, 则 X ~ B(1000,0.5), E(X)=1000×0.5=500, × D(X)=1000×0.5×0.5=250, × ×

P {400 < X < 600}= P {| X E ( X ) |< 100}

由切比谢夫不等式得

= P {400 500 < X 500 < 600 500}D( X ) 250 ≥ 1 = 1 = 0.975 2 2 100 100

(2)设需要做 次独立试验 则X ~ B(n, 0.5), 求n使得 设需要做n次独立试验 设需要做 次独立试验, 使得

X P 0.35 < < 0.65 ≥ 0.95 n

X P 0.35< < 0.65 = P{0.35n 0.5 n < X 0.5n < 0.65n 0.5n} n = P{ X 0.5n < 0.

15n} ≥ 0.95成立,由切比谢夫不等式得 成立 由切比谢夫不等式得

DX 0.25 n P { X 0.5 n < 0.15 n} ≥ 1 = 1 2 ( 0.15 n ) ( 0.15 n ) 2 只要 1 1 ≥ 0.95 , n ≥ 222 .2 0 .9 n

故至少需要做223次独立试验 次独立试验. 故至少需要做 次独立试验

第一节

大数定律

大数定律— 概率论中有关阐明大量随机现象平 大数定律 概率论中有关阐明大量随机现象平 的一系列定理。 均结果的稳定性的一系列定理 均结果的稳定性的一系列定理。 迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of 迄今为止 人们已发现很多大数定律 人们已发现很多大数定律 large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是大 所谓大数定律， 所谓大数定律 简单地说，就是大 量数目的随机变量所呈现出的规律， 量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般 用随机变量序列的某种收敛性来刻画。 用随机变量序列的某种收敛性来刻画。

1.伯努利大数定理 1.伯努利大数定理定理 设试验E重复进行了n次, 事件A在每次实验中出现的 概率为p, µn 表示事件A发生的次数,则对任意ε > 0, 有

lim P{|n →∞

µnn

p |< ε } = 1

证明: 因为µn ~ b(n, p ), 故E ( µn ) = np, D( µn ) = np(1 p ) 证明1 p (1 p ) 从而E ( ) = p, D( ) = 2 D( µ n ) = n n n n

µn

µn

由切比雪夫不等式，P{| X EX |< ε} ≥ 1

DX

ε2

P(

µnn

p < ε ) ≥ 1

D(

n = 1 p (1 p) ε2 ε 2n

µn

)

令n → ∞n →∞

p (1 p ) 1 →1 2 ε n

从而 lim P (

µnn

p < ε) =1

●伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其频率的稳定性 频率的稳定性。 即说明了其频率的稳定性。 从而在实际推断中，当试验次数较大时， 从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以 用事件发生的频率来近似代替概率。 用事件发生的频率来近似代替概率。

1, 第i次实验中事件A发生 (i = 1,2Ln) 若记 Xi = 0,第i次实验中事件A不发生则µn = ∑ X i ,i =1 n

µn

1 n 1 n 1 n = ∑ X i , p = ∑ P( A) = ∑ E ( X i ), n n i =1 n i =1 n i =1

从而定理可写成：

1 n 1 n lim P ∑ X i - ∑ E ( X i ) < ε = 1 n→∞ n i=1 n i =1

2.切比雪夫大数定律 2.切比雪夫大数定律

设相互独立的随机变量序列X 1 , X 2 ,L X n L 的数学期望与方差都存在,且存在常数c,使得 …… 此处隐藏：2984字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……