北大版高等数学第四章_微分中值定理与泰勒公式答案_第四章总练习题(二)
时间：2025-05-12
高等数学好题
18.设函数f(x)在( , )内可导,且a,b是方程f(x) 0的两个实根.证明方程f(x) f (x) 0在(a,b)内至少有一个实根.
证设 g(x)=ef(x),g(a) g(b) 0,g在 [a,b]连续, 在(a,b)可导),.
x
根据Rolle定理, 存在 c (a,b),使得g (x) e(f(x) f (x)) 0,即f(x) f (x) 0.
x
19.决定常数A的范围,使方程3x 8x 6x 24x A有四个不相等的实根.解P(x) 3x 8x 6x 24x,P (x) 12x 24x 12x 24
12(x 2x x 2) 12[x(x 2) (x 2)] 12(x 2)(x 1) 12(x 2)(x 1)(x 1) 0,.
x1 1,x2 1,x3 2.P(x1) 19,P(1) 13,P(2) 8.
根据这些数据画图，由图易知当在区间( P(1), P(2)) ( 13, 8)时3x 8x 6x 24x A有四个不相等的实根.
4
3
2
3
2
2
2
4
3
2
3
2
432
20.设f(x) 1 x
x
2
2
x
3
3
( 1)
n
x
n
n
.证明:方程f(x) 0当n为奇数时有一个
实根,当n为偶数时无实根.
证当x 0时f(x) 0,故f 只有正根,当n 2k 1为奇数时,limf(x) ,
x
x
limf(x) ,存在a,b,a b,f(a) 0,f(b) 0.
根据连续函数的中间值定理,存在x0 (a,b),使得f(x0) 0. f (x) 1 x x x实根唯一.
22k 1
当n 2k为偶数时,f (x)= 1 x x x
2
2k 2
x
2k 1
1
x 1
0(x 0),当x 0时,f严格单调递减,故
x
2k
1
x 1
0,x 1.
0 x 1,f (x) 0,x 1,f (x) 0,f(1)是x 0时的最小值,f(1) 0,故当n为偶数时f(x)无实根.
21.设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u (x)与v (x)在区间[a,b]上都连续,且uv u v在[a,b]上恒不等于零.证明u(x)在v(x)的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u(x)与v(x)的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u(x)与v(x).
证设x1,x2是u(x)的在[a,b]的两个根,x1 x2.由于u v uv 0,v(x1) 0,v(x2) 0.如果v(x)在[x1,x2]上没有根,则w=w (c)
u v uv v
2
uv
在[a,b]连续,w(x1) w(x2) 0,由Rolle定理,存在c [x1,x2],使得
(c) 0,即(u v uv )(c) 0,此与u v uv 恒不等于零的假设矛盾.故v(x)
在[x1,x2]上有根.
例如u cos(x),v sinx,u v-uv -1 0,sinxcosx的根交错出
现
.
高等数学好题
22.证明:当x 0时函数f(x)
arctanxtanhx
单调 递增,且arctanx
2
(tanhx).
tanhxarctanx
2 22sinhxcoshx (1 x)arctanx arctanx 1 xcoshx 证f(x) 2222tanhx(1 x)tanhxcoshx tanhx 1 sinh2x (1 x)arctanx(1 x)tanhxcoshx
2
2
2
2
g(x)
(1 x)tanhxcoshx
2
2
2
.
g(0) 0.
g (x) cosh2x 1 2xarctanx,g (0) 0,g (x) 2sinh2x 2arctanx g (x) 4cosh2x
41 x
2
2x1 x
2
,g (0) 0,
2
2
21 x
22
2
(1 x) 2x(1 x)
2
4cosh2x
21 x
2
2(1 x)1 x
2
2
4cosh2x
4x
1 x
2
0(当x 0时coshx 1),
由Taylor公式,对于x 0有g(x)
g( x)3!
3
x 0,f (x) 0,f严格单调递增.
2
,故对于x 0有
arctanxtanhx
x
limf(x) lim
arctanxtanhx
x
2
.
30.求多项式P3(x) 2x 7x 13x 9在x 1处的Taylor公式.解P3 (x) 6x 14x 13,P3 (x) 12x 14,P3 (x) 12.
2
3
2
P3(1) 1,P3 (1) 5,P3 (1) 2,P3 (1) 12.P3(x) 1 5(x 1) (x 1) 2(x 1).31.设Pn(x)是一个n次多项式.
(1)证明:Pn(x)在任一点x0处的Taylor公式为Pn(x) Pn(x0) Pn (x0)
1n!Pn
(n)
2
3
(x0).
(a) 0(k 1,2, n).证明Pn(x)的所有实根都不
(2)若存在一个数a,使Pn(a) 0,Pn超过a.
证(1)Pn(x)是一个n次多项式.
(k)
(1)证明:因为Pn(x)是一个n次多项式,Pn根据带Lagrange余项的Taylor公式Pn(x) Pn(x0) Pn (x0)(x x0) Pn(x0) Pn (x0)(x x0)
1n!P
1n!
(n 1)
(x) 0,x ( , ).故在任一点x0处,
1(n 1)!
Pn
(n)
(x0)(x x0)
n
n
Pn
(n 1)
(c)(x x0)
n 1
(n)n
(x0)(x x0).1n!Pn
(n)
(2)Pn(x) Pn(a) Pn (a)(x a) 故Pn(x)的所有实根都小于a.
(a)(x a) Pn(a) 0(x a),
n
高等数学好题
23.证明:当0 x
2
时有
2
xsinx
tanxx
.
证f(x) sinxtanx x,
22
f (x) cosxtanx sinxsecx 2x sinx sinxsecx 2x,
22
f (x) cosx secx 2sinxsecxtanx 2 (cosx secx 2) 2sinxsecx 2 0
(cosx secx cosx
1cosx
2,x (0, /2)).
f(0) f (0) 0,根据Taylor公式,f(x)
f ( x)2
x 0,sinxtanx x 0,
2
2
xsinx
tanxx
(x (0, /2)).
24.证明下列不等式:(1)e 1 x,x 0.(2)x (3)x
xx
2
x
2
3
ln(1 x),x 0. sinx x,x 0.
e
x
6
x
证(1)e 1 x (2)ln(1 x) x
x
2
2
x 1 x,x 0.1
x x,x 0.
32
2
(1 x)
1
2
ln(1 x) x
23(1 x)
3
x x
x
2
2
,x 0.
(3)f(x) x sinx,f(0) 0,f (x) 1 cosx 0,仅当x 2n 时f (x) 0,故当x 0时f严格单调递增,f(x) f(0) 0,x 0.
3
x
g(x) sinx x ,
6
2
x
g(x) cosx 1 ,g (x) sinx x 0,x 0.g当x 0时
2
严格单调递增,g(x) g(0) 0,x 0.
25.设xn (1 q)(1 q) (1 q),其中常数q [0,1).证明序列xn有极限.
n
n
2
n
证xn单调递增.lnxn
q
lnxn
1 q
i 1
ln(1 q)
i
i 1
q
i
q q
n 1
1 q
q1 q
,
xn e
e
.xn有上界.故xn有极限.
26.求函数f(x) tanx在x /4处的三阶Tay …… 此处隐藏：2530字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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