高等数学相关

第三节

第九章

三重积分的计算(2)一,利用柱坐标计算三重积分二,利用球坐标计算三重积分三,三重积分的变量替换

机动

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一,利用柱面坐标计算三重积分设 M ( x, y, z )为空间内一点,并设点 M在 xoy面上的投影 P的极坐标为ρ,θ,则这样的三个数ρ,θ, z就叫点 M的柱面坐标. z

规定: 0≤ρ<+∞,0≤θ≤ 2π,

M ( x, y, z )

∞< z<+∞ .x

oθ

ρP (ρ,θ )

y

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柱面坐标x=ρ cosθ

(x, y, z)→ (ρ,θ, z)

y=ρ sinθ

z z

z=z

0≤ρ<+∞,0≤θ≤ 2π,

M(ρ,θ, z) z0 y

∞< z<+∞ .. .

θ

xx

ρN

y

机动

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柱面坐标的坐标面动点M(ρ,θ, z)z

z

ρ

ρ=常数:柱面Sz=常数:平面∏ S

∏

M

0

y

x机动目录上页下页返回结束

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z

柱面坐标的坐标面动点M(r,θ, z)

∏

z

ρ

M

ρ=常数:柱面Sz=常数:平面∏

θ=常数:半平面P

S

P

0.

θ

y

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柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面θ及θ+dθ;半径为ρ及ρ+dρ的园柱面;平面 z及 z+dz;

z

平面z

z0

θ dθρρdθdρ

y

x

机动

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柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面θ及θ+dθ;半径为ρ及ρ+dρ的园柱面;平面z+dz

z

平面 z及 z+dz;

dz

z0

θ dθρρ dθdρ

y

.

x

底面积ρ dρ dθ机动目录上页下页返回结束

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柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面θ及θ+dθ;半径为ρ及ρ+dρ的园柱面;平面 z及 z+dz;

z

dVdz

dV= d x d yd z=ρ dρ dθ d z

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩ

=∫∫∫ f (ρ cosθ,ρ sinθ, z )Ω.

z0

ρ dρ dθ dz.

θ dθρρ dθ

y

x

dρ

底面积ρ dρ dθ

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例1:计算

z x 2+ y 2 dv其中Ω由球面 x 2+ y 2+ z 2= 2∫∫∫Ω

与抛物面 z= x 2+ y 2围成.

z

z= 2ρ2

x=ρ cosθ解:在柱面坐标系下 y=ρ sinθ z=zρ 2+ z2= 2知交线为ρ2= z

z=1z=ρ2o

y

z= 1,ρ= 1,

x

ρ 2≤ z≤ 2ρ 2, 0≤ρ≤ 1, 0≤θ≤ 2πΩ:

∫∫∫ zΩ

x+ y dv=∫ dθ∫ dρ∫2 2

2π

1

2ρ 2

0

0

ρ2

34π zρρ dz= 105机动目录上页下页返回结束

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d xd ydz例2.计算三重积分∫∫∫ 2 2,其中Ω由抛物面Ω1+ x+ y z x 2+ y 2= 4 z与平面 z= h ( h> 0)所围成 .ρ2≤ z≤ h h 4解:在柱面坐标系下Ω: 0≤ρ≤ 2 h

0≤θ≤ 2π

ρ 2dz原式=∫ dθ∫0 2 dρ∫ρ 4 0 1+ρ 2 hρρ2= 2π∫ )dρ 2 (h 0 4 1+ρπ2π2 hh

o x

y

dv=ρ dρ dθ d z

=

4

[( 1+ 4h) ln(1+ 4h) 4h]

机动

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例3.计算三重积

分

∫∫∫Ω z

x+ y d xd ydz其中Ω为由2 2

柱面 x 2+ y 2= 2 x及平面 z= 0, z= a (a> 0), y= 0所围成位于第一卦限部分的半圆柱体.

z 0≤ρ≤ 2 cosθ a解:在柱面坐标系下Ω: 0≤θ≤π 2 0≤ z≤a o y原式=∫∫∫ zρ 2 dρ dθ d zΩ 2ρ= 2 cosθπ a 2 cosθ xρ 2 dρ zdz= 2 dθ

∫0

∫0

∫0

4a= 3

2

∫0

π

2

8 3 cosθ dθ= a 93

dv=ρ dρ dθ d z机动目录上页下页返回结束

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例 4:计算2 2

∫∫∫Ω2

x 2+ y 2+ 4 z 2 dv其中Ω由锥面

x+ y= z与平面 z= h ( h> 0 )围成. z解1:在柱面坐标系下

Ω:

ρ≤z≤h 0≤ρ≤h0≤θ≤ 2πo

y

x2π

∫∫∫Ω

x+ y+ 4 z dv=∫ dθ∫ dρ∫2 2 2

h

h

0

0

ρ

ρ 2+ 4 z 2ρ dz

此积分很难求!机动目录上页下页返回结束

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例 4:计算2 2

∫∫∫Ω2

x 2+ y 2+ 4 z 2 dv其中Ω由锥面

x+ y= z与平面 z= h ( h> 0 )围成. z解2:用截面法:先固定 z,

0≤ z≤ h, Dz={( x, y )| x 2+ y 2≤ z 2}

∫∫∫Ωh 0

x+ y+ 4 z dv2 2 2

Dz

o

=∫ dz∫∫ x 2+ y 2+ 4 z 2 dxdyDz

y

x2

======

极坐标

∫0

h

dz∫ dθ∫0

2π

z

0

ρ+ 4 zρ dρ=2

π6机动

( 5 5 8 ) h4

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例4:计算

∫∫∫Ω

x 2+ y 2+ 4 z 2 dv其

z

中Ω由锥面 x 2+ y2= z 2与平面

z= h ( h> 0)围成.

解3:用截面法:先固定θ, 0≤θ≤ 2π, Dθ={( z,ρ )| 0< z< h,0<ρ< z}

Dθ

θo

y

x

zDθ

∫∫∫Ω0

x 2+ y 2+ 4 z 2 dv2 2

=∫ dθ∫∫ρ+ 4 zρ dρ dz

2π

o

ρ4

=∫ dθ∫ dz∫0 0

2π

Dθ h

z

0

ρ+ 4 zρ dρ=2 2

π6

( 5 5 8 )h机动目录

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二,利用球面坐标计算三重积分设 M ( x, y, z )为空间内一点,则点 M可用三个有次序的数 r,,θ来确定,其中 r为原点 O与点 M间的距离,为有向线段 OM与 z轴正向所夹的角,θ为从正 z轴来看自 x轴按逆时针方向转到有向线段 ON的角,这里 N为点 M在 xoy面上的投影,这样的三个数 r,,θ就叫做点 M的球面坐标.

机动

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球面坐标

z

x= rsin cosθ y= rsin sinθ z= rcos .. .

zM(r,θ,)

0≤ r<+∞,

r

0≤θ≤ 2π,

0

0≤≤π.x

yθNy

x机动目录上页下页返回结束

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球面坐标的坐标面动点M(r,θ,)z

r=常数:球面S

=常数:S0

M

r

x

y

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球面坐标的坐标面动点M(r,θ,)z

C

r=常数:球面S

=常数:锥面Cθ=常数:半平面PS0

M

θ

P

.

x

y

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球面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:

z圆锥面球面r+d r

半径为r及r+dr的球面;圆锥面及+drsindθ

rsi n

drrd球面 r

半平面θ及θ+dθ;

r

圆锥面+d

0

d

θx

dθ

y

机

动

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球面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:

z

半径为r及r+dr的球面;圆锥面及+drsindθ

dr

半平面θ及θ+dθ;

dV= r 2 sin drdθd

rdr

dV

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydzΩ

d

=

∫∫∫ f (r sin cosθ, r sin sinθ,Ω

0θdθ.

y

rcos ) r 2 sin drdθdx

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例 5计算 I=∫∫∫ ( x 3+ y 3+ z 3 )dxdydz,其中Ω是球面Ω

x 2+ y 2+ z 2= 2 z,与锥面 z=

解1:利用对称性y 3dxdydz= 0,∫∫∫ΩΩ

x 2+ y 2所围的立体. z

x 3dxdydz= 0∫∫∫o

在球面坐标系下Ω: 0≤ r≤ 2 cos, 0≤≤π, 4 0≤θ≤ 2πyx

I=∫∫∫ z dxdydz=3Ω

∫0

2π

dθ∫ d∫4

π

2 cos

0

0

r cos r sin dr3 3 2

31=π 15机动目录上页下页返回结束