常微分方程计算题(3)
时间：2026-01-24
习题集
常微分方程习题集（3）
（三）、计算题
1. 解方程：(x2 y2 x)dx xydy 0； 2. 解方程：
dy
2xy xy4 0； dx
3. 解方程：(x2 y2 x)dx xydy 0； 4. 解方程：xy =x2 y2 y； 5. 解方程：
yx
；
6. 解方程： xy y xtan； 7. 解方程：
8. 解方程：y e；
dy5x3y 2y2
9. 解方程： 4；
dx2x 3xydyxy y y2
10. 解方程： ；
dxx 2y
xy
y
；
11. 解方程：(y e x ey)dx (1 ey)dy 0； 12. 解方程：x3y x4 y2；
13. 解方程：(y2 3xy 1)dx (xy x2)dy 0； 14. 解方程：
dyxsinx ycosx ； dxysinx xcosx
dy2x2 x3y y
15. 解方程： ； 43
dxx 4xy 8y
16. 解方程：y 2 xy y 0； 17. 解方程：
；
18. 解方程：x(4) 4x 0；
19. 解方程：y (y 1)ey ； 20. 解方程：x2 y 2 1 ； 21. 解方程：
22. 解方程：x4y y2 4x6 ；
23. 解方程：y 3y 3y y 0 ；
；
习题集
24. 解方程：25. 解方程：y y2
12
；
1
0 ； 2x2
26. 解方程：x(5) 4x(3) 0 ；
27. 解方程：(2y 3xy2)dx (x 2x2y)dy 0； 28. 解方程：x 5x 8x 4x 0 ； 29. 解方程：x(7) 2x(5) x(3) 0 ； 30. 求方程
dy
x y2经过（0，0）的第三次近似解. dx
（三）、计算题参考答案
1、(x2 y2 x)dx xydy 0 解：原方程可化为：
令y ux整理得：
udu (
积分：
121
u lnx C， 2x
1
x
1
)dx， 2x
dyxy1
dxyxy
将y ux代入，原方程的通解为： y2 2x2lnx 2Cx2 2x，
x 0,是原方程的常数解.
dy
2、 2xy xy4 0
dx
解：y 0是方程的特解，y 0时，
令z y 3得
解之得
z Ce3x ，
故原方程的通解为：
y 3 Ce3x .
22
dz
6xz 3x， dx
12
12
习题集
3、(x2 y2 x)dx xydy 0
M N
y x1 M N
， 解：因为 2y, y ，
Nx y x
所以 x为积分因子，两边乘以x得：
x3dx y2xdx x2dx x2ydy 0，
所以 d(x4 y2x2 x3) 0， 故原方程的通解为：
3x4 4x3 6x2y2 C.
4、xy =x2 y2 y 解：原方程可化为：
y2y
y 2 ，
xx
1
4
12
13
令y ux整理得：
积分得：
arcsinu lnCx，
将y ux代入，原方程的通解为：
y xCx).
5. 解方程：
du u2
dx
， x
解一：令y ux，则dy udx xdu，原方程可化为：
积分得：
u 1 cx.
将y ux代回得原方程的通解为：
y cx2 x.
M N
3 y x M N
， 2, 1 ，解二：因为
Nx y x
dudx
， 1 ux
所以 x 3为积分因子，两边乘以x 3得：
习题集
x 2dx 2yx 3dx x 2dy 0，
所以 d(x 1 yx 2) 0， 故原方程的通解为：
y Cx2 x.
6. xy y xtan 解：原方程可化为：
y tan
令y ux整理得：
积分得：
sinu Cx，
将y ux代入，原方程的通解为：
7.
.
dudx
， tanux
y
x
y
， x
yx
解：令z y 1，原方程可化为：
由一阶线性方程的通解公式
p(x)dxp(x)dx
(C f(x)e dx), z e
1dx 1dx
得： z e (C (sinx cosx)e dx)
dz
z sinx cosx， dx
ex(C e xsinxdx e xcosxdx)
sinx Cex， 原方程的通解为：
习题集
xy y
8. y e
解：原方程可化为：
y xy (lny ) 1，
令y p得
y xp(lnp) 1，
两边对x求导，并以p代替y ，整理得
(1 lnp)(x
dp
plnp) 0. dx
从1 lnp 0得p e，代如y xp(lnp) 1可得原方程的一个特解：
y ex，
从x
dp
plnp 0解的p eCx，代如y xp(lnp) 1可得原方程的通解： dx
1
y eCx.
C
dy5x3y 2y29. 4
dx2x 3xy
解：原方程可化为：
(5x3y 2y2)dx (2x4 3xy)dy 0
M N
1 M N y x
5x3 4y, 8x3 3y ， 因为， y xNy Mxxy
所以 xy为积分因子，两边乘以xy得：
5x4y2dx 2xy3dx 2x5ydy 3x2y2dy 0，
从而有:
d(x5y2 x2y3) 0，
故原方程的通解为：
x5y2 x2y3 C .
习题集
dyxy y y2
10.
dxx 2y
解：原方程可化为：
(y xy y2)dx (x 2y)dy 0
M N
y x M N
1， 因为 1 x 2y, 1 ，
N y x
所以 e x为积分因子，两边乘以e x得：
e xydx xye xdx y2e xdx xe xdy 2ye xdy 0，
所以:
d(y2e x) y(e xdx xde x) xe xdy 0，
d(y2e x xye x) 0,
故原方程的通解为：
y2 xy Cex.
11. (y e x ey)dx (1 ey)dy 0
M N
y x M N
1， 1 ey, 0 ，解：因为
N y x
所以 ex为积分因子，两边乘以ex得：
exydx dx eyexdx exdy eyexdy 0，
所以:
d(yex) dx eydex exdey 0，
d(yex x ex y) 0,
故原方程的通解为：
yex x ex y C.
12. x3y x4 y2
解：由分析可知 y x2是该方程的一个解，
习题集
作变换y x2 z，原方程可化为
dz2z2
z 3，
dxxx
解之得； z 1 x 2(C lnx)， 故原方程的通解为：
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