3-1 假设检验

假设检验

第三章

假设检验

§3.1假设检验的基本概念若对参数一无所知若对参数有所了解但有怀疑猜测需要证实之时用参数估计的方法处理用假设检验的方法来处理

假设检验

何为假设检验?假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设.所作假设可以是正确的,也可以是错误的.为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设的决定.

假设检验

假设检验的内容参数检验 (§3.2)非参数检验总体均值,均值差的检验总体方差,方差比的检验分布拟合检验(§3.3)符号检验秩和检验

假设检验的理论依据假设检验所以可行,其理论背景为实际推断原理,即“小概率原理”

假设检验

某产品出厂检验规定:次品率p不超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品,问能否出厂？ p≤ 0.04, p= 0.04代入解假设 3 3 9 P (3)= C12 p (1 p)= 0.0097< 0.01 12这是小概率事件,一般在一次试验中是不会发生的,现一次试验竟然发生,故认为原假设不成立,即该批产品次品率p> 0.04则该批产品不能出厂.

引例1

假设检验

P (1)= C p (1 p)= 0.306> 0.3 121 12 1 11

这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受原假设,即该批产品可以出厂.注1直接算 1/ 12= 0.083> 0.04若不用假设检验,按理不能出厂.注2本检验方法是概率意义下的反证法，故拒绝原假设是有说服力的,而接受原假设是没有说服力的.因此应把希望否定的假设作为原假设.

假设检验

出厂检验问题的数学模型对总体 X~ f (x; p)= p (1 p), x=0,1提出假设x 1 x

H0: p≤ 0.04;要求利用样本观察值

H1: p> 0.04(∑ xi= 3 or 1 )i=1 12

(x1, x2, L x12),

对提供的信息作出接受 H 0 (可出厂),还是接受 H1 (不准出厂)的判断.

假设检验

某厂生产的螺钉,按标准强度为 68/mm2,而实际生产的强度X服N(μ,3.62 ).若E(X)=μ=68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:称为原假设或零假设 H0:μ= 68原假设的对立面:称为备择假设 H1:μ≠ 68假设检验的任务必须在原假设与备择假设之间作一选择

引例2

假设检验

现从整批螺钉中取容量为36的样本,其均值为 x= 68.5,问原假设是否正确?若原假设正确,则X 68 3 .6/ 6

X~ N(68, 3.6/ 36)

2

因而 E ( X )= 68,即 X偏离68不应该太远,故取较大值是小概率事件.因此, X 68 > c =α可以确定一个常数c使得 P 3.6/ 6

取α= 0.05,则

c= z= z0.025= 1.96α 2

假设检验

由

X 68 3.6/ 6

> 1.96

X> 69 .18或 X< 66 .824

即区间( ∞,66.824 )与 ( 69.18,+∞ )为检验的拒绝域称 X的取值区间 ( 66.8

24, 69.18 )为检验的接受域 (实际上没理由拒绝),现 x= 68.5落入接受域,则接受原假设

H0:μ= 68

假设检验

由引例2可见,在给定α的前提下,接受还是拒绝原假设完全取决于样本值,因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：第一类错误第二类错误

弃真错误取伪错误

假设检验

假设检验的两类错误所作判断接受 H0真实情况 H0为真 H0为假正确第二类错误(取伪)

拒绝 H0第一类错误(弃真)

正确

犯第一类错误的概率通常记为α犯第二类错误的概率通常记为β

假设检验

任何检验方法都不能完全排除犯错误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大.假设检验的指导思想是控制犯第一类错误的概率不超过α,然后,若有必要,通过增大样本容量的方法来减少β .

假设检验

引例2中，犯第一类错误的概率 P(拒绝H0|H0为真)= P ( X< 66 . 824∪ X> 69 . 18 )=α= 0.05若H0为真,则 X~ N (68, 3.62/ 36)所以,拒绝 H0的概率为α,α又称为显著性水平,α越大,犯第一类错误的概率越大,即越显著.

假设检验

下面计算犯第二类错误的概率β

β=P(接受H0|H0不真) H0不真,即μ≠ 68,μ可能小于68,也可能大于 68,β的大小取决于μ的真值的大小.设

μ= 66, n= 36, X~ N (66,3.6/ 36)βμ=66= P( 66.82≤ X≤ 69.18μ= 66)2

69.18 66 66.82 66 =Φ Φ 0.6 0.6 =Φ (5.3) Φ (1.37)= 1 0.9147= 0.0853

假设检验

若μ= 69, n= 36, X~ N(69,3.6/36)2

βμ=69= P ( 66.82≤ X≤ 69.18μ= 69 ) 69.18 69 66.82 69 =Φ Φ 0.6 0.6 =Φ (0.3) Φ ( 3.63)= 0.6179 0.0002= 0.6177取伪的概率较大.

假设检验

0.12 0.1 0.08 0.06

α/2

0.04 0.02 60 62.5 65 67.5 70 72.5 75

α/2

H0真

0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 67.5

β70 72.5 75 77.5

H0不真

80 82.5

假设检验

现增大样本容量,取n= 64,μ= 66,则

X~ N (66,3.6/ 64)仍取α=0.05,则 c= zα= z 0.025= 1.962

2

由

X 68 3.6/ 8

> 1.96可以确定拒绝域为

( ∞, 67.118 )与 ( 68.882,+∞ )因此，接受域为(67.118, 68.882)

假设检验

βμ=66= P ( 67.118≤ X≤ 68.882μ= 66 ) 68.88 66 67.12 66 ≈Φ Φ 0.45 0.45 =Φ (6.4) Φ (2.49)≈ 1 0.9936= 0.0064< 0.0853βμ=69= P ( 67.12≤ X≤ 68.88μ= 69)= 0.3936< 0.6177

(μ→μ0,β→ 1 α )

假设检验

当样本容量确定后,犯两类错 …… 此处隐藏：1055字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……