第1部分 专题1 第2讲 函数的图像与性质选择、填空题型(含2013年真题)

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第二讲

函数的图像与性质 选择、填空题型

考点 函数定义域 函数值或值域 函数图像

函数性质函数图像与性质的 综合应用

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考情 1.高考对函数的三要素、函数的表示方法等内容的考 查以基础知识为主，难度中等偏下，如2013年广东T2等. 2.函数图像和性质是历年高考的重要内容，也是热点 内容.对图像的考查主要有两个方面：一是识图，二是用 图，即利用函数的图像，通过数形结合的方法解决问题； 对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性 等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数，如2013 年湖北T8等. 3.函数图像与性质的综合应用属难度较大的问题，常 以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结 合，如2013年辽宁T12等.

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lg x+1 1.(2013· 广东高考)函数y= 的定义域是( x-1 A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) x+1>0, 解析：由题意得 x-1≠0,

)

B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) x>-1, ∴ x≠1.

答案：C

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2.(2013· 湖北高考)x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数， 则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为 A.奇函数 C.增函数 B.偶函数 D.周期函数 ( )

解析：当 x∈[0,1)时，画出函数图像(图略),再左右扩展 知 f(x)为周期函数.

答案：D

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3.(2013· 湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( A. 4 B. 3 C.2 D. 1 )

解析：由已知可得，-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式 相加解得，g(1)=3.

答案：B

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x3 4.(2013· 四川高考)函数y= x 的图像大致是 3 -1

(

)

解析：因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0 时，y>0,所以B错；当x→+∞时，y→0,所以D错，故选C.

答案：C

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5.(2013· 辽宁高考)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2 +2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)= min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值，min{p,q} 表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大 值为B,则A-B= A.16 C.a2-2a-16 B.-16 D.a2+2a-16 ( )

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解析：函数f(x)的图像是开口向上的抛物线，g(x)的图像是开口 向下的抛物线，两个函数图像相交，则A是两个函数图像交点中 较低的点的纵坐标，B是两个函数图像交点中较高的点的纵坐 标.令x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,解得x=a+2 或x=a-2.当x=a+2时，因为函数f(x)的对称轴为x=a+2,故 可判断A=f(a+2)=-4a-4,B=f(a-2)=-4a+12,所以A- B=-16.

答案：B

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1.函数的三个性质 (1)单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立，则

f(x)在D上是增函数 (都有f(x1)>f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数). (2)奇偶性 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x) =-f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立，则f(x) 为偶函数).

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(3)周期性 周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件： ①当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x); ②T是不为零的最小正数. 2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数，2a是 它的一个周期. ②设f(x)是R上的偶函数，且图像关于直线x=a(a≠0)对称， 则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期.

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③设f(x)是R上的奇函数，且图像关于直线x=a(a≠0)对 称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期. (2)函数图像的对称性 ①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x), 则f(x)的图像关于直线x=a对称. ②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a- x),则f(x)的图像关于点(a,0)对称. ③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直 a+b 线x= 2 对称.

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函数及其表示[例1] (1)(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地

中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位：m)的取值范围是 ( )

A.[15,20] C.[10,30]

B.[12,25] D.[20,30]

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(2)设函数 f(x)的值域是

g x +x+4,x<g x , 2 g(x)=x -2(x∈R), f(x)= g x -x,x≥g x ,

则

( B.[0,+∞)

)

9 A. -4,0 ∪(1,+∞) 9 C. -4,+∞

9 D. -4,0 ∪(2,+∞)

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[自主解答]

(1)如图，过 A 作 AH⊥BC

DE x AD AF 于 H,交 DE 于 F,易知 BC=40= AB=AH= AF 40 ,则有 AF=x,FH=40-x,由题意知阴 影部分的面积 S = x(40 - x)≥300 ,解得 10≤x≤30 ,即 x ∈ [10,30].

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(2)令 x<g(x), 即 x2-x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2.令 x≥g(x), 即 x2 - x - 2≤0 , 解 得 - 1≤x≤2. 故 函 数 f(x) =2 x +x+2 x<-1或x>2 , 2 x -x-2 -1≤x≤2 .

当 x<-1 或 x>2 时， 函数 f(x)>2; 当

-1≤x≤2 时，函数

1 9 f 2 ≤f(x)≤f(-1),即-4≤f(x)≤0.故函数

9 f(x)的值域是 -4,0 ∪(2,+∞).

[答案]

(1)C

(2)D