2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第2课

2020

1 第2课时 简单的三角恒等变换

题型 一 三角函数式的化简与证明

1．化简：＋sin θ＋cos θ

⎝

⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)．

解 由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2

. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝

⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2

cos θ， 故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2

＝－cos θ. 2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2

. 证明 因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ2

， 所以cos θ－cos φ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2 ＝cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2－cos θ＋φ2cos θ－

φ2－sin θ＋φ2·sin θ－φ2＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2

.

1．三角函数式的化简遵循的三个原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．

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2 (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．

(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．

2．三角恒等式的证明方法

(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．

(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．

(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立

.

1.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果为________．

答案 －2sin4

解析 原式＝4cos 24＋2－2

＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π4<4<3π2

， 所以cos4<0，且sin4<cos4，

所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4.

2.证明：sin α－sin β＝2sin α－β2cos α＋β2

. 证明 因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2

， 所以sin α－sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2－sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2 ＝sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2 ＝2sin α－β2cos α＋β2

. 题型 二 三角函数式的求值

1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边

上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23

，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255

D ．1 答案 B

解析 根据题设条件，可知O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos2α＝2cos 2α－1＝2·⎝

⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝55.故选B.

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3 2.若sin2α＝

55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )

A.7π4

B.9π4

C.5π4或7π4

D.5π4或9π4 答案 A

解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，2π， ∵sin2α＝

55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴α∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π4，π2且cos2α＝－255， 又∵sin(β－α)＝

1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， ∴β－α∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]

＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 3.(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝

________. 答案 6 解析 因为2sin 280°＝2sin80°＝2cos10°，

所以原式＝2[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋3sin10°)]

＝2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°cos10°＋sin10°cos10°＋3sin 210° ＝2(3cos 210°＋3sin 210°)

＝2×3＝ 6.

1.三角函数给角求值问题的解题策略

一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．

2．三角函数给值求角问题的解题策略

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4 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：

(1)已知正切函数值，选正切函数．

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．

若角的范围是⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，选正弦函数较好

.

1.已知方程x 2

＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 －3π4

解析 由根与系数的关系且a >2得，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0.所以tan α<0，tan β<0.

又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，0，于是α＋β∈(－π，0)， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3a 1－a ＋＝1，

又α＋β∈(－π，0)，所 …… 此处隐藏：3064字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……