第2-1 控制系统的时域数学模型

第二章 控制系统的数学模型

第一节 时域数学模型 —微分方程

第一节 控制系统的时域数学模型项目教学目的

内容如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物 理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何 建立控制系统的时域数学模型。 如何建立控制系统的时域数学模型。

教学重点

教 学 难 点 关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂， 及 其 处 理 逐步分层次讲解。

一 引言 数学模型的基本概念

数学、工程、控制三者的统一中学时的函数概念： y f ( x) x 自变量，y 因变量 在电路的学习中对函数概念的理解：激励x 电路系统 响应y研 究 对 象 的 复 杂 程 度 加 深

自动控制系统对函数概念的理解：控制量x 控制系统 被控制量y

同样的x和y,在不同的课程学习中，思维方式 发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概 念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可 以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题， 因此可以通过自动控制原理课程把数学、工程、 控制三者联系统一起来。学习自动控制原理的思维方式：数学的方法，工程的意识，控制的语言。

数学模型的定义：能够描述控制系统内部

物理量(或变量)之间关系的表达形式。实际物理系统理想化

物理模型

数学化

数学模型

线性化

线性数学模型 无量纲化 可用数学模型

标准化

标准数学模型

数学模型的分类

按输入输出的表达形式 微分方程(时间域) 传递函数(复数域) 动态结构图(各元件传函的连接关系) 响应曲线 频率特性(bode图、nyquist图、nichols图)状态变量形式 状态方程(时间域连续系统) 差分方程(离散系统)

建立数学模型的目的 分析和设计控制系统的首要工作(或基础工

作)。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压 或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型 却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系 统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征， 研究其内在的共性运动规律。

数学模型建立(建模)的方法

分析法(机理模型): 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律， 列出各变量之间的数学关系式 试验法(实验建模): 对系统施加典型测试信号(脉冲、阶跃或正弦信号), 记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系 统的传递函数或频率特性

建立合理的数学模型的原则建立的数学模型既有准确性，又有简化性 一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，

略去一些次要因素，使模型既

能准确反映系统的 动态

本质，又能简化分析计算的工作。 除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般

尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统

二 时域数学模型-微分方程 微分方程的一般形式单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程 的一般形式为：dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c (t ) an 1 c (t ) an c (t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt

式中，c(t)是被控量,输出量；r(t)是控制量，输入量。 m。 n 为了所表示系统的可实现性，一般限定

建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤I. II. 根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量； 按照系统中元件所遵循的科学规律 (物理或化学定律等), 围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式， 构成微分方程组； III. IV. V. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略 去一些次要因素或进行线性化处理； 消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导 数的微分方程； 对微分方程进行标准化处理： 与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的 置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系 数归化为具有一定物理意义的形式。 建立系统或元件微分方程 的步骤标准形式整理

确定输入 输出量

列写相应微 分方程消去 中间 变 量

微分方程

电气系统例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。

解： (1)确定元件的输入、输出 Input: ui(t) Output:uo(t) (2)由基尔霍夫电压定律，得 ui (t ) Ri(t ) uo (t ) 又因为(3)消去中间变量 i(t) (4)标准化duo (t ) i (t ) C dt

duo (t ) ui (t ) RC uo (t ) dt

duo (t ) RC uo (t ) ui (t ) dt

例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。

解： 对L1,由KVL得 ui (t ) uR1 (t ) uC1 (t ) 0对L2,由KVL得 uC1 (t ) uR 2 (t ) uo (t ) 0

列出各元件的输入变量和输出变量的关系式 R1:uR1 (t ) R1i1 (t ) R2:uR 2 (t ) R2i2 (t )1 C1:uC1 (t ) [i1 (t ) i2 (t )]dt C1 1 C2:uo (t ) i2 (t )dt C2

d 2uo (t ) duo (t ) R1C1R2C2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) uo (t ) ui (t ) 2 dt dt

d 2uo (t ) duo (t ) (T1 T2 T3 ) uo (t ) ui (t ) 或 TT 1 2 2 dt dt

式中：

T1 R1C1

T2 R2C2

T3 R1C2