9-2二重积分的计算(2)

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第二节

第九章

二重积分的计算(2) 二重积分的计算(极坐标系下计算 二重积分

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为什么引用极坐标计算二重积分 为什么引用极坐标计算二重积分

I=

∫∫ D2

f ( x , y )dxdy2

y

D: x + y = 1和 x2 + y2 = 4 之间的环域

D3

DD10 1

怎么计算？ 怎么计算？ 分块儿! 必须把 D 分块儿!I=

D2

2 x

∫∫ + ∫∫ + ∫∫ + ∫∫D1 D2 D3 D4

D4

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一、利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下, 在极坐标系下, 常数， 用同心圆 r =常数， 常数, 射线 θ =常数, 分划区域D 分划区域 为D

r = ri + ri

θ = θ i + θ i σ i

r = ri

θ = θi

σi (i = 1, 2,L, n)

o

A

则除包含边界点的小区域外， 则除包含边界点的小区域外，小区域的面积

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1 1 2 2 σ i = ( ri + ri ) θ i ri θ i 2 2 r = ri + ri 1 r = ri = ( 2ri + ri ) ri θ i 21 2 = ri ri θ i + ri ri θ i 2≈ ri ri θ i ,D

θ = θ i + θ i σ i

θ = θi

o

A

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ . D D机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图r = 1 (θ)r = 2 (θ)

α ≤θ ≤ β,

Dβoα

1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

A

= ∫ dθ ∫α

β

2 (θ )

1 (θ )

f (r cosθ , r sinθ )rdr.

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区域特征如图

r = 1(θ )

D

α ≤θ ≤ β,

r = 2 (θ )

1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).

β

o

α

A

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

= ∫ dθ ∫α

β

2 (θ )

1 (θ )

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2) 区域特征如图r = (θ )

α ≤θ ≤ β,0 ≤ r ≤ (θ ).βo

D

αA

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD

= ∫ dθ ∫α

β

(θ )

0

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(3) 区域特征如图π 0 ≤ θ ≤ 2π,D

r = (θ )

0 ≤ r ≤ (θ ).

D

∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ= ∫ dθ ∫0 2π

o

A

(θ )

0

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

若 f ≡1, 则可求得 的面积 ， 则可求得D 1 2π 2 σ = ∫∫ dσ = ∫ (θ )dθ D 2 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

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思考: 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于 原点， 的变化范围是什么? 原点，试问 θ 的变化范围是什么? (1)

y

r = (θ )

(2) y

r = (θ )

D

D

o

x

o答:

x答:

0 ≤θ ≤ π;

π2

≤θ ≤

π2

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例1将

化为极坐标下的二次积分， ∫∫ f ( x , y )dxdy 化为极坐标下的二次积分，D

其中 D = {( x , y ) | 1 x ≤ y ≤ 1 x 2 } , .

x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ所以圆方程为 r = 1,

x2 + y2 = 1

x+ y =1

1 , 直线方程为 r = sinθ + cosθ

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫D

π2

0

dθ ∫

1

1 sin θ + cosθ

f ( r cosθ , r sinθ )rdr .

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sin( π x + y ) dxdy ,其中 例 2 计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}.2 2

由对称性， 解 由对称性，可只考虑第一象限部分，

D = 4D1注意：被积函数也要有对称性. 注意：被积函数也要有对称性.

D 1

sin(π x 2 + y 2 ) sin(π x 2 + y 2 ) dxdy = 4 ∫∫ dxdy ∫∫ 2 2 2 2 x +y x +y D D1= 4 ∫ dθ ∫2

π

2

0

1

sin πr rdr = 4. r机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例3

把I=

D : ( x a )2 + y 2 = a 2与 y = 0 所围区域解

∫∫ f ( x , y )dxdy 变为及坐标形式 D2 2 2

( x a) + y = a即 r = 2acosθ ,

x = rcosθ 令 代入 y = rsinθ y

I=

∫∫ f ( x , y )dxdyD

r = 2a cos θ

=

∫

π

2 0

dθ ∫

2 a cos θ

0

f ( r cos θ , r sin θ )rdr0

θ2ax

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例4 把 I = ∫0 dy ∫0 区域边界： 区域边界： 边界y

2R

2 Ry y 2

f ( x , y )dx 变为极坐标形式即 r =2Rsinθ

x = 2 Ry y 2

x=0r =2Rsinθπ 2 0

2R

即θ=

π2

∴I =0

∫

dθ ∫

2 Rsin θ

0

f ( rcos θ , rsin θ )rdr

θx

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