初等矩阵和逆矩阵的求法

矩阵的初等变换定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

1 对调两行(对调i , j 两行, 记作ri rj); 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ;(第 i 行乘 k , 记作 ri k) 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj) .

类似可定义初等列变换( “r”换成“c”).

定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同.ri rj 逆变换

ri rj ;1 ri ( ) 或 ri k ; k

ri k

逆变换

ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

矩阵 B, 定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B.定义4 单位矩阵 E 经过一次初等变换所得的方 阵称为 初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.

1、 对调两行或两列对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj ),得初等方阵 1 1 0 1 1 E (i , j ) 1 1 0 1 1

第i 行

第 j 行

用 m 阶初等矩阵 Em ( i , j ) 左乘 A (aij )m n,得 a11 a12 a a j2 j1 Em ( i , j ) A a ai 2 i1 a m 1 am 2 a1n a jn ain amn

第i 行 第 j 行

相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ： 把 A 的第 i 行与第 j 行对调 ( ri rj ).

类似地， 以 n 阶初等矩阵 En ( i , j ) 右乘矩阵 A, a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a amj ami amn m1

相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci c j ).

2、以数 k 0 乘某行或某列

以数k 0乘单位矩阵的第 行( ri k ),得初等 i 矩阵E ( i ( k )). 1 1 E ( i ( k )) k 1 1

第i 行

以 Em ( i ( k )) 左乘矩阵 A, a11 Em ( i ( k )) A kai 1 a m1 a12 kai 2 am 2 a1n kain 第 i 行 amn

相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri k );以 类似地， En ( i ( k )) 右乘 矩阵 A,其结果 相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k ).

3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去

以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci ), 1 第i行 1 k E ( i , j( k )) 1

第j行 1

以 Em ( i , j( k )) 左乘矩阵 A,a12 a11 a ka ai 2 ka j 2 j1 i1 E m ( i , j( k ))A a a j2 j1 am 2 am1 ain a jn a jn amn a1n

把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 ( ri krj ).

类似地，以 En ( i , j( k )) 右乘矩阵 A, 相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 ( c j kci ).AE n ( i , j( k )) a11 a1i a1 j ka1i a1n a21 a2i a2 j ka2i a2 n a ami amj kami amn m1

性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一次初 等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m阶初 等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 性质2 初等矩阵是可逆矩阵.

证明： | E( i , j ) | 1,| E( i( k )) | k ,| E( i , j( k )) | 1, 故三种类型的初等矩阵都可逆.

定理1

设 A 是 n 阶方阵, 则 A 可逆

A 可经一系列初等行变换化为单位矩阵 E. 证明： 若对 A 作 t 次初等行变换可化为 E, 则存在 t 个相应的 n 阶初等矩阵 Pt , , P2 , P, 1 使得 E Pt P2 P1 A, A | 0, A可逆. |

对一阶可逆矩阵a, a 0, a 1 E1, a 1 1行

结论成立；假设对n-1阶可逆矩阵, 结论成立. 当A为 n 阶可逆矩阵时，| A | 0, 设a11 0,

1 用a11 乘第一行,再把第一行的 ai1 倍加到

第 i 行(i =2, 3,…, n), 得 1 b12 b1n 0 b22 b2 n 1 A B 0 0 b bnn n2 B1 B2

| A | a11 | B | a11 | B2 | 0,

B2 | 0, B2是n 1阶可逆矩阵， |B 由归纳假设， 2可经过一系列初等行变换化为 E n 1,

对B 的后 n-1行作相应的初等行变换，有 1 b12 0 b22 B 0 b n2 1 b12 b1n 0 1 b2 n C 0 0 bnn 0 0 b1n 1 b1n 0 0 1 0 0 1

( b1i )ri r1,

i 2,3, , n

En ,

故可逆矩阵A可经过初等行变换化为单位矩阵.