高中数学人教版必修四1.2.1任意角的三角函数

复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？P ca

sin

O

b

cos tan

M

a c b c a b

新课引入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？Pa

O y

b

M

x

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？

其中 : OM a MP b OP r a 2 b 2y

MP b sin OP rOM a cos OP r

﹒P a, b

MP b tan OM a

o

﹒M

x

诱思探究 如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？y

P P(a,b)

﹒M

O

M

x

M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM

OMP ∽ OM P

MP sin OP

能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？

若OP r 1 ,则 以原点为圆心,以单位Y

长度为半径的圆叫做 单位圆.

P(a,b)

MP sin OPOM cos OP

b

O M X

a b MP tan OM a

2.任意角的三角函数定义设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )那么:(1)y 叫做

α的终边

的正弦，记作 sin ,即 sin y ; (2)x 叫做 的余弦，记作 cos ,即 cos x ; y y tan (3) 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)xxy

﹒ P x, yO

所以，正弦，余弦，正切都是 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， . A 1,0 我们将他们称为三角函数 x使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

实例剖析

1 3 例1:如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ， P( , ) 2 2求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义：

y1 3 P( , ) 2 2

3 sin 2tan 3

1 cos 2

O

x

点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。

求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ,易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例23

的终边与单位圆的交点坐标为5 3 所以 sin 3 2,

y

5 1 cos 3 2

5 tan 3 3

1 3 ( , ) 2 2

,

5 3

o

﹒

A

x

﹒B点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。

例3 已知角 弦和正切值 . 解:由已知可得

的终边经过点 P ( 3, 4),求角 的正弦、余0

点评：已知角终边上异于单 P ( x, y ) , 设角 的终边与单位圆交于 位圆上一点的坐标， M 0 P0 x MP 分别过点 P 、 、 P0 作 轴的垂线 求三角函数值，可 M 0 P0 4 OM x 根据三角形相似将 问题化归到单位圆 MP y OM0 3 上，再由定义得解。 OMP ∽ OM 0 P0

OP0 ( 3) 2 ( 4) 2 5

y

M0

M

O

x

P x, y

P0 3, 4

M0P y | MP | 4 0 于是， sin

y ; 1 OP OP 5 0OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3

定义推广：设角 是一个任意角， P( x, y ) 是终边上的任意一点， 点 P 与原点的距离 r

x2 y2 0

y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x

任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

巩固提高

2 2 练习1:已知角α 的终边经过点 P( , ) ,求角α 的 2 2 正弦、余弦和正切值。 7 2.利用三角函数的定义求 的三个三角函数值 6 3. 已知角 的终边过点 P 12,5 ,求 的三个三 角函数值. 4.课本P15练习3.

sin

练2: 7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2 7 3 tan 6 3

2 2 ;cos ; tan 1 2 2

练3: 解：由已知可得：

r x y 2 2

12

2

5 132

于 sin cos r 13 r 13 是， y 5 tan x 12

y

5

x

探究：1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域

cos tan ( (

sin

k , k Z 2

R R

[ 1,1] [ 1,1] R((

值域

)

y

2.三角函数值在各象限的符号(x )

sin

o )(

)( ) cos o )( x )

y

) ( ) tan o ) ( x )

y

(

例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，角 为第三象限角.反之也对。

证明：

因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.

sin 0 tan 0

① ②

因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

1 下列各式为正号的是( C )

A cos2 C tan2 cos2

B cos2 sin2 D sin2 tan2

2 若lg(sin tan )有意义，则 是( C ) A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知 的终边过点(3a-9,a+2),且cos <0, sin >0,则a的取值范围是 -2<a<3 。