2010年全国高中数学联赛试题及答案

《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)》收录了当年各省市预赛试题和优秀解答。预 赛命题人员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教学大纲,体现新课标精神的同时,在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作, 试题对高考有一定的指导作用,本书架起了联赛与高考的桥梁,是一本不可或缺的备考手册。 这里免费与大家分享部分省市的预赛试题和解答,希望读者喜欢。

2010年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)

x 5

24 3x的值域是 .

2. 已知函数y (acos2x 3)sinx的最小值为 3，则实数a的取值范围是3. 双曲线x2 y2 1的右半支与直线x 100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中

a1 3,b1 1,a2 b2,3a5 b3，且存在常数 , 使得对每一个正整数n都有an log

bn ，

则 .

5. 函数f(x) a2x 3ax 2(a 0,a 1) 在区间x [ 1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7. 正三棱柱ABC A1B1C1的9条棱长都相等，二面角B A1P B1 ,P是CC1的中点，则sin .

8. 方程x y z 2010满足x y z的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）

32

9. （16分）已知函数f(x) ax bx cx d(a 0)，当0 x 1时，f (x) 1，试求a

的最大值.

2

和B(x,y)10.（20分）已知抛物线y 6x上的两个动点A(x1,y1)22，其中x1 x2且

x1 x2 4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 ABC面积的最大值.

11.（20分）证明：方程2x 5x 2 0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得

3

25

r

a1

r

a2

r

a3

.

《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)》收录了当年各省市预赛试题和优秀解答。预 赛命题人员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教学大纲,体现新课标精神的同时,在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作, 试题对高考有一定的指导作用,本书架起了联赛与高考的桥梁,是一本不可或缺的备考手册。 这里免费与大家分享部分省市的预赛试题和解答,希望读者喜欢。

解 答

1. [ 3,3] 提示：易知f(x)的定义域是 5,8 ，且f(x)在 5,8 上是增函数，从而可知

f(x)的值域为[ 3,3].

2.

32

a 12 提示：令sinx t，则原函数化为g(t) ( at

2

a 3)t，即

g(t) at

3

(a 3).

2

由 at3 (a 3)t 3， at(t 1) 3(t 1) 0，(t 1)( at(t 1) 3) 0 及t 1 0 知

at(t 1) 3 0 即

a(t t) 3. （1）

2

当t 0, 1时（1）总成立；

对0 t 1,0 t2 t 2；对 1 t 0,

14

t t 0.从而可知

2

32

a 12.

3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y k(k 1,2, ,99)与双曲线右半支于Ak,交直线x 100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99 k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为

99

(99 k) 99 49 4851.

k 1

又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2 4851 98 9800.

3 提示 ：设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则

3 d q, （1） 3(3 4d) q， （2）

2

（1）代入（2）得9 12d d 6d 9，求得d 6,q 9. 从而有3 6(n 1) log一切正整数n都成立.

从而

log

2

9

n 1

对一切正整数n都成立，即6n 3 (n 1)log

9 对

9 6, 3 log

9 ，

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求得

5.

3

3, 3，

3

3 3.

14

提示：令ax y,则原函数化为g(y) y2 3y 2,g(y)在(

32

,+ )上是递增的.

当0 a 1时，y [a,a 1],

g(y)max a

2

3a

1

2 8 a

1

2 a

12

，

所以

1211

g(y)min () 3 2 ；

224

当a

时，y [a 1,a]，

g(y)max a 3a 2 8 a 2，

2

所以

g(y)min 2

2

3 2

1

2

14

.

综上f(x)在x [ 1,1]上的最小值为 6. 为

712

(

512)

2

14

.

2136

712

1217

提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率

712

(

512

)

4

712

712

1

125144

1217

.

4

提示：解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在

直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则

B(1,0,0),B1(1,0,2),A1( 1,0,2),P(0,

3,1)，从而，

BA1 ( 2,0,2),BP ( 1,3,1),B1A1 ( 2,0,0),B1P ( 1,3, 1).

设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是m (x1,y1,z …… 此处隐藏：7769字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……