【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第3课

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精品K12教育教学资料第4章相似三角形

4．1 比例线段

第3课时比例中项与黄金分割

知识点1 比例中项

1．如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c＝________．

2．2016·嵊州期末若线段c是线段a和b的比例中项，且a＝2 cm，b＝8 cm，则线段c的长是________cm.

知识点2 黄金分割

3．2017·下城区校级月考已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB ＝( )

A.5－1

2

B.

5＋1

2

C．3－ 5 D.5－1

4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下面的等式成立的是( )

A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB

C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2AB·BC

5．已知线段AB及AB上一点P，再添加一个条件，使P为AB的黄金分割点，其中错误的是( )

A．AP＝5－1

2

AB B．PB＝

3－5

2

AB

C.AP

PB

＝

5－1

2

D.

AB

AP

＝

5－1

2

6.5－1

2

是黄金分割比，当环境温度与人的正常体温(36.5 ℃)的比值等于黄金分割比

时，机体的新陈代谢、生理功能均处于最佳状态，则环境温度为________℃时，人感到最舒适(精确到0.1 ℃)．

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图4－1－4

7．课本图4－4改编图4－1－4是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中脸部被围在矩形ABCD 内，点F 是AB 的黄金分割点，BF ＞AF ，若AB ＝10，则BF 的长为________．

8．如果三条线段的长a ，b ，c 满足b a ＝c b ＝5－12

，那么a ，b ，c 叫做“黄金线段组”．黄金线段组中的三条线段( )

A ．必构成锐角三角形

B ．必构成直角三角形

C ．必构成钝角三角形

D ．不能构成三角形

图4－1－5

9．如图4－1－5，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则S 1________S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．

10．已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比)．如图4－1－6，△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，已知AB ＝1，求CE 的长度．

图4－1－6

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11．如图4－1－7，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″，使AB″＝AB′.这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

图4－1－7

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详解详析

1.43

2．4 [解析] ∵线段a ＝2 cm ，b ＝8 cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项， ∴a c ＝c b ，∴c 2

＝ab ＝2×8＝16，

∴c 1＝4，c 2＝－4(舍去)．故答案为：4.

3．C [解析] 当AP ＞PB 时， AP ＝5－12

×2＝5－1， PB ＝2－(5－1)＝3－ 5.

故选C.

4．C 5.D

6．22.6

7．5 5－5 [解析] ∵点F 是AB 的黄金分割点，BF ＞AF ，

∴BF ＝5－12AB ＝5－12

×10＝5 5－5. 8．D [解析] ∵b a ＝c

b ＝5－12

， ∴b ＝5－12a ，c ＝5－12b ＝3－52

a ， ∴

b ＋

c ＝

5－12a ＋3－52a ＝a ， ∴三条线段a ，b ，c 不能构成三角形．

故选D.

9．＝ [解析] ∵P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，∴PA 2＝PB ·AB . 又∵S 1表示以PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积， ∴S 1＝PA 2，S 2＝PB ·AB ，∴S 1＝S 2.

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精品K12教育教学资料 10．解：∵△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形， ∴DE ＝CD ，BC AB ＝5－12，CD BC ＝5－12

， CE CD ＝5－12

. ∵AB ＝1，∴BC ＝5－12AB ＝5－12

， ∴CD ＝5－12BC ＝(5－12)2＝3－52

， ∴CE ＝

5－12CD ＝5－12×3－52＝5－2. 11证明：设正方形ABCD 的边长为2.

∵E 为BC 的中点，

∴BE ＝1，∴AE ＝AB 2＋BE 2

＝ 5.

又∵B ′E ＝BE ＝1，

∴AB ′＝AE －B ′E ＝5－1.

又∵AB ″＝AB ′＝5－1， ∴AB ″∶AB ＝(5－1)∶2，

∴B ″是线段AB 的黄金分割点．