2018版高中数学北师大版必修二学案：第一章 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥

7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．

知识点一 柱、锥、台体的体积公式

知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

V ＝Sh

V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h

V ＝13Sh .

类型一 多面体的体积

例1 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．

反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法

(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．

(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

跟踪训练1 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.18

B.17

C.16

D.15

类型二 旋转体的体积

例2 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.

(2)体积为52cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )

A ．54cm 3

B ．54πcm 3

C ．58cm 3

D ．58πcm 3

反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．

(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．

(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．

跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．

类型三几何体体积的求法

命题角度1等体积法

例3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．

反思与感悟(1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．

(2)利用等体积法可求点到面的距离．

跟踪训练3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A 到平面A1BD的距离d.

命题角度2割补法

例4如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．

反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．

跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．

1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )

A.14

B.12

C.36

D.34

2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )

A ．π

B ．2π

C ．4π

D ．8π

3．棱台的上，下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( )

A ．18＋6 2

B ．6＋2 2

C ．24

D ．18

4．某几何体的三视图如图所示，其体积为________．

5．如图是一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.

1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为

V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13

Sh . 2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD

.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．

3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

答案精析

知识梳理

知识点一

Sh 13Sh 13

(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 题型探究

例1 解 由主视图可知，在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在等边三角形ABC 中，

BC ＝AD sin60°＝332

＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12

×2×3×3＝3 3. 跟踪训练1 D [如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，