浙江专用高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何的综合问题讲义含

§8.7 立体几何的综合问题

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法

向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0.

2.空间中平行、垂直关系的证明方法

(1)利用空间平行、垂直关系的转化：

线线关系线面关系面面关系.

(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系.

3.求两条异面直线所成的角

(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角).

(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.

4.求直线与平面所成的角

(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形.

(2)直线与平面所成角的求法

设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n

的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |

. 5.求二面角的大小

(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大

小θ＝〈AB →，CD →〉.

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面的单位法向量是唯一确定的.( × )

(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ )

(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ )

(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )

(5)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，二面角的范围是[0，π].( √ )

(6)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( × )

题组二 教材改编

2.[P104T2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2，2，5)，当v ＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β

解析 当v ＝(3，－2，2)时，

u ·v ＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0得α⊥β.

当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2u 得α∥β.

3.[P111T3]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的

中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.

答案 垂直

解析 以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所

示.

设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，0，1， AM →·ON →＝⎝

⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1＝0，∴ON 与AM 垂直. 4.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为________.

答案 45°或135°

解析 cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝11·2＝22

，即〈m ，n 〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.

题组三 易错自纠

5.直线l 的方向向量a ＝(1，－3，5)，平面α的法向量n ＝(－1，3，－5)，则有( )

A.l ∥α

B.l ⊥α

C.l 与α斜交

D.l ⊂α或l ∥α 答案 B

解析 由a ＝－n 知，n ∥a ，则有l ⊥α，故选B.

6.已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12

，则l 与α所成的角为________.

答案 30°

解析 设l 与α所成角为θ，∵cos〈m ，n 〉＝－12

， ∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12

，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.

题型一 证明平行或垂直问题

1.(2018·台州调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.垂直

D.MN 在平面BB 1C 1C 内

答案 B

解析 以点C 1为坐标原点，分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3，

则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3

，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，

所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量.

因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，

又MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .

2.(2010·浙江)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )

A.若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α

B.若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α

C.若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m

D.若l ∥α，m ∥α，则l ∥m

答案 B 解析 对于A ，由l ⊥m 及m ⊂α，可知l 与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A 不正确.B 正确.对于C ，由l ∥α，m ⊂α知，l 与m 的位置关系为平行或异面，故C 不正确.对于D ，由l ∥α，m ∥α知，l 与m 的位置关系为平行、 …… 此处隐藏：7382字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……