浙江专用高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何的综合问题讲义含
时间:2025-07-11
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§8.7 立体几何的综合问题
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法
向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a =0,n ·b =0.
2.空间中平行、垂直关系的证明方法
(1)利用空间平行、垂直关系的转化:
线线关系线面关系面面关系.
(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系.
3.求两条异面直线所成的角
(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角).
(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.
4.求直线与平面所成的角
(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形.
(2)直线与平面所成角的求法
设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与n
的夹角为β,则sin θ=|cos β|=|a ·n ||a ||n |
. 5.求二面角的大小
(1)如图①,AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大
小θ=〈AB →,CD →〉.
(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面的单位法向量是唯一确定的.( × )
(2)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ )
(3)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ )
(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )
(5)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2,直线与平面所成角的范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,二面角的范围是[0,π].( √ )
(6)若二面角α-a -β的两个半平面α,β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α-a -β的大小是π-θ.( × )
题组二 教材改编
2.[P104T2]设u ,v 分别是平面α,β的法向量,u =(-2,2,5),当v =(3,-2,2)时,α与β的位置关系为__________;当v =(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________. 答案 α⊥β α∥β
解析 当v =(3,-2,2)时,
u ·v =(-2,2,5)·(3,-2,2)=0得α⊥β.
当v =(4,-4,-10)时,v =-2u 得α∥β.
3.[P111T3]如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面正方形ABCD 的中心,M 是D 1D 的
中点,N 是A 1B 1的中点,则直线ON ,AM 的位置关系是________.
答案 垂直
解析 以A 为原点,分别以AB →,AD →,AA 1→所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图所
示.
设正方体的棱长为1,则A (0,0,0),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1,12,O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,0,1, AM →·ON →=⎝
⎛⎭⎪⎫0,1,12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,1=0,∴ON 与AM 垂直. 4.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角为________.
答案 45°或135°
解析 cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n |=11·2=22
,即〈m ,n 〉=45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.
题组三 易错自纠
5.直线l 的方向向量a =(1,-3,5),平面α的法向量n =(-1,3,-5),则有( )
A.l ∥α
B.l ⊥α
C.l 与α斜交
D.l ⊂α或l ∥α 答案 B
解析 由a =-n 知,n ∥a ,则有l ⊥α,故选B.
6.已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量,若cos 〈m ,n 〉=-12
,则l 与α所成的角为________.
答案 30°
解析 设l 与α所成角为θ,∵cos〈m ,n 〉=-12
, ∴sin θ=|cos 〈m ,n 〉|=12
,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.
题型一 证明平行或垂直问题
1.(2018·台州调研)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =2a 3
,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.MN 在平面BB 1C 1C 内
答案 B
解析 以点C 1为坐标原点,分别以C 1B 1,C 1D 1,C 1C 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由于A 1M =AN =2a 3,
则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,2a 3,a 3,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3,2a 3,a ,MN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 3
,0,2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ,
所以C 1D 1→=(0,a ,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量.
因为MN →·C 1D 1→=0,所以MN →⊥C 1D 1→,
又MN ⊄平面BB 1C 1C ,所以MN ∥平面BB 1C 1C .
2.(2010·浙江)设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l ⊥m ,m ⊂α,则l ⊥α
B.若l ⊥α,l ∥m ,则m ⊥α
C.若l ∥α,m ⊂α,则l ∥m
D.若l ∥α,m ∥α,则l ∥m
答案 B 解析 对于A ,由l ⊥m 及m ⊂α,可知l 与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A 不正确.B 正确.对于C ,由l ∥α,m ⊂α知,l 与m 的位置关系为平行或异面,故C 不正确.对于D ,由l ∥α,m ∥α知,l 与m 的位置关系为平行、 …… 此处隐藏:7382字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……