4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(2015年高考总复习)

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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

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第二节 平面向量基本定理及其坐标运算

读教材· 抓基础

研考点· 知规律

拓思维· 培能力

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高考这样考 1.考查应用向量的坐标运算求向量的模. 2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算. 3.考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数.

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备考这样做 1.理解向量基本定理的意义、作用，会用向量基本定理表示向 量. 2.运用向量的坐标进行运算.

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D 读教材· 抓基础回扣教材 扫除盲点

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课 本 导 读 1.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理： 定理：如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对有且只有 一对实数 λ1, 于这一平面内的任意向量 a, λ2, 使 a=λ1e1

+λ2e2. 其中，不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组 基底.

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(2)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分 解.

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(3)平面向量的坐标表示： ①在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i,j 作为基底，对于平面内的一个向量 a,有且只有一对 实数 x,y,使 a=xi+yj,把有序数对 (x,y) 叫做向量 a 的坐标， 记作 a=(x,y) ,其中 x 轴上的坐标. 叫 a 在 x 轴上的坐标， y 叫a在y

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→ → ②设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是 终点 A 的坐标， → 即若OA=(x,y),则 A 点坐标为 (x,y) ,反之亦成立.(O 是坐标 原点) 2.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. (2)向量坐标的求法：

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→ 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个 向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 始点 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a 与 b 共线 a= λb x1y2-x2y1=0 .

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疑 点 清 源 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底 的选取不唯一， 平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1, e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.

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2.向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA=a,点 A 的 位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x, → y),但应注意其表示形式的区别，如点 A(x,y),向量 a=OA=(x, y). → → → → 当平面向量 OA平行移动到 O1A1时，向量不变即 O1A1= OA = → (x,y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.

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基 础 自 评 → → → 1.若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=( A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10) )

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解析

→ → → BC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

答案 A

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2.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c=( A.3a+b C.-a+3b B.3a-b D.a+3b

)

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解析

设

x-y=4, c=xa+yb,则 x+y=2,

x=3, ∴ y=-1.

∴c=3a-b.

答案 B

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