概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

§2.5无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” 则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。

随机变量函数的分布

一、随机变量的函数 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、求连续型随机变量函数分布的定理

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

一、随机变量的函数 设 X 是一随机变量，g (x)为一个函数，在一些条件下

Y= g ( X )

也是一个随机变量.

→ R → R Y ( ) = g( X ( ))对任意的区间或区间的 B,有 (其中 C = { x | g ( x) ∈ B}) 并

X ( )

g ( )

{Y ∈ B} = { g (X) ∈ B} = {X ∈ C} ∈ ∞ ∑ g ( xk ) pk k EY = Eg ( X ) = + ∞ =1 g ( x) f ( x)dx ∫ ∞

P{Y ∈ B} = P{ g (X) ∈ B} = P{X ∈ C}

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

二、离散型随机变量的函数

P{ X = xn } = pn或

( n = 1,

2, )

X P

x1 p1

x2 p2

, xn , pn

y1 , y2 , , yn , 其中 yn = g ( xn )

( n = 1, 2, )

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

第 一 种 情 形

如果 y1 , y2 , , yn , 两两不相同，则由

P{Y = yn } = P{X = xn } P{Y = yn } = pn或YP y1 p1 y2 p2

(n = 1, 2, ) ( n = 1, , ,

可知随机变量 Y 的概率函数为

2, )yn pn

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 1设离散型随机变量 X 的概率函数为X P -31 252

-15 252

015 252

235 252

670 252

9126 252

随机变量 Y = 2 X 3 ,试求 Y 的概率函数.随机变量 Y = 2 X 3 的取值为 解：

9, 5, 3, 1, 9, 15,

这些取值两两互不相同 . 由此得随机变量 Y = 2 X 3 的概率函数为Y P -91 252

-55 252

-315 252

135 252

970 252

15126 252

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

第 二 种 情 形

如果

y1 , y2 , , yn , 有相同的项，

则把这些相同的项合并 (看作是一项),并把相 应的概率相加，即可得随机变量Y = g ( X )的分布律.

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 2 设随机变量 X 具有以下的概率函数，

1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4试求Y = (X-1)2 的概率函数. 解: Y 有可能取的值为 0,1,4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0, 解得 X=1, 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 2 (续 ) Y=(X-1)2 同理, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2, 所以，Y=(X-1)2 的概率函数为：

1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4

4 Y 0 1 pk 0.1 0.7 0.2

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 3

设离散型随机变量 X 的分布律为

X P

11 2

21 22

… …

n1 2n

… …

1 若X为奇数 Y = g (X ) = 1 若X为偶数试求随机变量 Y 的分布律.

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 3 (续)P 解： {Y = 1} =

∑ P{X = n} = ∑ P{X = 2k + 1}n为奇数

∞

k =0

=∑P{Y = 1} =

∞

1

2 2 k +1 k =0n为偶数

2 = 3∞k =0

2k ∑ P{X = n} = ∑ P{X = 2k }∞

1 = ∑ 2k = 1 3 k =0 2所以， 的分布律为 YY P -12 3

11 3

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

三.连续型随机变量函数的分布设 X 是一

连续型随机变量， 其密度函数为 f X (x ),随机变量. 我们要求的是 Y = g ( X )的密度函数 f Y ( y ). 再设 Y = g ( X ) 是 X 的函数 ，我们假定 Y 也是连续型

解题思路无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”,则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。

关系求 Y = g ( X )的密度函数

⑵.利用 Y = g ( X )的分布函数与密度函数之间的 f Y ( y ) = FY′ ( y )

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 4 设X是一个连续型随机变量，其分布函数F(x)是严格 单调递增的，则F(X)服从[0, 1]上的均匀分布。

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 5 设X~N(0, 1),求Y=X2的密度函数。

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

四、求连续型随机变量函数分布的定理 设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x) , ∞ < x < ∞,又设函数 g ( x) 处处可导，且有 g ′( x) > 0 (或恒有 g ′( x) < 0).

则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 ，其概率密度为 f X [h( y )] | h′( y ) |, α < y < β , fY ( y ) = 0, 其它.

α = min{g ( ∞), g (∞)}, β = max{g ( ∞), g (∞)}.其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 x = g 1

( y ) = h( y )

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

求连续型随机变量函数分布的定理定理( 求连续型随机变量函数分布的定理定理(续)若 f ( x) 在有限区间 [a, b] 以外等于零，则只须假设 在 [a, b] 上恒有g ′( x) > 0(或恒有g ′( x) < 0), 此时仍有： f X [h( y )] | h′( y ) |, α < y < β , fY ( y ) = 0, 其它.

这里 α = min{g (a ), g (b)}, β = max{g (a ), g (b)}.

其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 x = g

1

( y ) = h( y )

概率论与数理统计(龙永红)PPT教案

例 6 如果Y=lnX~N(µ, σ2),则称X服从参数为µ, σ2的对数 正态分布。试求对数正态分布的密度函数、均值和 方差 …… 此处隐藏：877字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……