高考数学试题分类汇编大全

高考试题分类汇编

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（14空间向量与立体几何）

一、选择题：

ABC1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ C ）

2 C

． D．

333

1.解：C．由题意知三棱锥A1 ABC为正四面体，设棱长为a

，则AB1

，棱柱的高

A．

B

．

1

3

，故AB1与AO （即点B1到底面ABC的距离）1

AO底面ABC

所成角的正弦值为1 .

AB13

0

另解：设AB,AC,AA1为空间向量的一组基底，AB,AC,AA1的两两间的夹角为60

1 1

长度均为a，平面ABC的法向量为OA1 AA1 AB AC,AB1 AB AA1

33

22 OA1 AB1 a,OA1 AB1 3 OA1 AB1

则AB1与底面ABC

所成角的正弦值为 .

3AOAB11

二、填空题：

1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角

C AB

D的余弦值为

弦值等于 1.答案：

，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余3

1

6

1

.设AB 2，作CO 面ABDE， 6

OH AB，则CH AB， CHO为二面角C AB

DCHOH CH cos CHO 1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM 1 1 AN (AC AB),EM AC AE,

22 1 1 1AN EM (AB AC) (AC AE)

222

AN EM1

故EM，AN所成角的余弦值

ANEM6

另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点A( 1, 1,0),B(1, 1,0),E( 1,1,0),C,

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1111M( , ,

N(, ,,

222

22 31 13 1 则AN (,,EM (, AN EM ,AN EM 2222222

AN EM1

故EM，AN所成角的余弦值 .

ANEM6

三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，

ABC

4

, OA 底面ABCD, OA 2,M为OA的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

1．方法一（综合法）

（1） CD‖AB,

∴ MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作AP

CD于P,连接MP

∵OA 平面ABCD，∴CD MP

∵ ADP ,∴DP=

42

∵MD DP1

∴cos MDP , MDC MDP

MD23

所以 AB与MD所成角的大小为

3

（２）∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作AQ OP 于点Q， ∵AP CD,OA CD,∴CD 平面OAP, ∵AQ 平面OAP,∴AQ CD

又 ∵AQ OP,∴AQ

平面OCD,

线段

AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵

OP

2AP DP

OA AP2，所以点B到平面OCD的距离为2 ∴AQ

3OP3

方法二(向量法)

作AP CD于点P,

如图,分别以AB,AP,AO轴建立坐标系

A(0,0,0),B(1,0,0),PD(O(0,0,2),M(0,

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(1)设AB与MD所成的角为 ,

∵AB (1,0,0),MD ( 1)

AB MD1

∴co s

, , ∴

3AB MD2

3

(2) ∵OP (0, 2),OD ( 2)

222

∴设平面OCD的法向量为n

(x,y,z),则n

OP 0,n OD 0

y 2z 0

即

x y 2z 0 22

取z

解得n

设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n 上的投影的绝对值,

OB n2

. ∵OB (1,0 ,, 2∴)d n32

所以点B到平面OCD的距离为

3

∴AB与

MD所成角的大小为

2．（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，

ABC

4

, OA 底面ABCD, OA 2,M为OA的中点，N为BC的中点。

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

2． 方法一（综合法）

（1）取OB中点E，连接ME，NE

ME‖AB,AB‖CD， ME‖CD

又 NE‖OC, 平面MNE‖平面OCD

B

N

MN‖平面OCD （2） CD‖AB,

∴ MDC为异面直线AB与MD所成的角（或

其补角） 作AP CD于P

,连接MP

∵OA 平面ABCD，∴CD MP

∵ ADP

4

,∴DP=

2

MD

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MDP ∴cos

DP1

,MDC MDP MD23

所以 AB与MD所成角的大小为

3

（3）∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

AQ OP 于点Q，∵AP CD,OA CD,∴CD

平面OAP,∴

AQ CD 又 ∵AQ

OP,∴AQ

平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP

AP DP

2

2

2

OA AP 2，所以点B到平面

OCD的距离为2

∴AQ

3OP32

方法二(向量法)

作AP

CD于点P,如图,

分别以AB,AP,AO所在直线为x

,y,z轴建立坐标系

A

(0,0,0),B(1,0,0),P,

D(

O(0,0,2),M(0,0,1),N

(1

y

2z 0 2即

x y 2z 0

取z 解得n ∵MN n (1

, 1) 0

44

MN‖平面OCD (2)设AB与MD所成的角为

,∵AB (1,0,0),MD ( 1)

AB MD 1

ABMD ∴co , 与所成角的大小为 s ∴,

33AB MD2

(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n 上的投影的绝对值,

OB n2 2

.所以点B到平面OCD的距离为 由 OB (1,0, 2), 得 …… 此处隐藏：5425字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……