抛物线过焦点的弦长公式及其应用

辅教导学 数学通讯 2011年第3期(上半月)

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抛物线过焦点的弦长公式及其应用

杨建新

(甘肃省礼县二中,742201)

解析几何中与过焦点的弦长有关的问题较多,本文介绍抛物线的两个过焦点的弦长公式,并举例说明它们的应用,供同学们参考.

公式1 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,设A(xA,yA),B(xB,yB),则AB=xA+xB+p.证明

由抛物线的焦点半径公式可得

BF=xB+,AF=xA+,所以

22|AB=

AF+

BF=(xA+)+(xB+

2

解 由公式1可得AB=x1+x2+p=3p+p=4p,故选(B).

例2 过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB,则 AOB的面积的最小值是

(A)1.AB=

.sin

(B)2.

(C)3.

(D)4.

( )

解 设直线AB的倾斜角为 ,由公式2可得

又p=2,所以抛物线的焦点为F(1,0),故S AOB=OF ABsin = 1 22sin

=.sin

)=xA+xB+p.2

公式2 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,直线AB的倾斜角为 ,则AB=.sin证明 设直线AB的参数方程为x=

+tcos ,2t为参数.

易知:当 =90 时, AOB的面积最小,最小值为2,故选(B).

例3 已知抛物线y=4x的焦点弦AB被焦点分成长为m、n的两部分.求证:+=1.

mn

证明 直线AB的斜率不存在时,m=n=2, +=1.

mn

直线AB的斜率存在时,设它的方程为y=k(x-1),将其代入抛物线方程y2=4x,化简得k2x2-(2k+4)x+k=0,所以xAxB=1.

由公式1知m+n=xA+xB+2, xA+xB

=m+n-2.

又m=xA+1,n=xB+1,所以mn=(xA+1)(xB+1)

=xAxB+xA+xB+1=1+(m+n-2)+1,所以mn=m+n,从而

+=1.mn

2

2

2

y=tsin ,

代入抛物线方程y2=2px,整理得

t2sin2 -2ptcos -p2=0,

由韦达定理得t1+t2=,t1 t2=sin-,故sin

AB=

2

t1-t2=

t1+t2)-4t1t2

=

+=.

sin sin sin

2

下面应用以上两个公式求解几个具体问题.例1 过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则AB等于

( )

(收稿日期:2010-10-30)

(A)2p. (B)4p. (C)6p. (D)8p.