第4章李雅普诺夫稳定性理论

现代控制理论

第四章李雅普诺夫稳定性理论

现代控制理论

3.1 稳定性基本概念

3.2 李雅普诺夫意义下的稳定性3.3 李雅普诺夫第一法 3.4 李雅普诺夫第二法 3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法

现代控制理论

研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统

正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。

现代控制理论

经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，

奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)

现代控制理论

1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定

性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

现代控制理论

主要内容： 李氏第一法(间接法):求解特征方程 的特征值 李氏第二法(直接法):利用经验和技巧 来构造李氏函数

现代控制理论

x1 i (t ) 例：设 x2 uc (两个储能元件，L,C) 当电路加电后，令u (t ) 0 R x1 L x 1 2 C x1 (0) x (0) 0 2 1 RLC电路 x di(t ) 1 L Ri(t ) uc u (t ) L 0 x2 dt duc (t ) C i (t ) dt

现代控制理论

1 1 2 Li(t ) 2 Lx1 2 2 1 1 2 电容能量W2 Cuc (t ) 2 Cx2 2 2 1 2 2 总能量W W1 W2 ( Lx1 Cx2 ) 2 逐渐 0,系统是稳定的 如果能量随着时间推移 逐渐 ,系统是不稳定的 电感存能W1 dw Cx x Lx x Cx ( 1 x ) Lx ( R x 1 x ) Rx 2 W 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 dt C L L

讨论：如果R 0,W 0,i、uc互相振荡，总能不变。 若R 0,W 0 能量逐渐 W 0

基本思想：从能量的观点，如果一个系统是渐进稳定的，其能量 0

问题是：找一个完全描 述上述过程的所谓能量 函数V (x)。

现代控制理论

3.1 稳定性基本概念

1.初态：

x =f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 )

x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态2.平衡状态：

xe 系统的平衡状态 xe f ( xe , t ) 0 n x Ax x R a.线性系统

A非奇异： Axe 0 xe 0 A奇异：

Axe 0

有无穷多 xe个

现代控制理论

b.非线性系统

x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xeeg.

x1 x1 x2 x1 x2 x3 2

令

x1 00 x 0 e1

x2 0

0 xe3 1

0 xe2 1

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3.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定

如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 满足

x0 xe ( , t0 ) 的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x(t; x0 , t0 )在 t 都满足：

x(t; x0 , t0 ) xe , t t0

则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。

现代控制理论

x2

S( )x

S( )

xe

x0

x1

现代控制理论

2.渐近稳定 1)是李氏意义下的稳定 2) lim x(t; x0 , t0 ) xe 0 t

与t0无关 一致渐进稳定

现代控制理论

x2

S( )

S( )

xe

x0

x1

x

经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。

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3.大范围内渐进稳定性 对 x0 s( )

都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0 t 初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。

s( ) ,

x xe大范围稳定

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线性系统(严格):如果它是渐进稳定的，必

是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。

非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。