8-2 数量积 向量积

8-2 数量积

向量积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

一、两向量的数量积实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动 表示位移， 到点 M 2 ,以 s 表示位移，则力 F 所作的功为的夹角) (其中θ 为 F 与 s 的夹角 其中

W =| F || s | cosθ

启示 两向量作这样的运算 结果是一个数量 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.数量积为 定义 向量a 与b 的数量积为a b

a b =| a || b | cosθ (其中θ 为a 与b 的夹角 的夹角) 其中

b

θa

a b =| a || b | cosθ

数量积也称为“点积”、 数量积也称为“点积” 内积” “内积”.

关于数量积的说明： 关于数量积的说明：

(1) a a =| a | .2

( 2 ) a b = 0 a ⊥ b .数量积符合下列运算规律： 数量积符合下列运算规律： (1)交换律： a b = b a; 交换律： (2)分配律：(a + b ) c = a c + b c ; 分配律： 为数： (3)若 λ 为数：( λa ) b = a ( λb ) = λ ( a b ),

为数： 若 λ 、µ为数：( λa ) ( µb ) = λµ ( a b ).

设 a = a x i + a y j + az k ,

b = bx i + b y j + bz k

a b = (a x i + a y j + a z k ) (bx i + b y j + bz k )

∵ i ⊥ j ⊥ k , ∴ i j = j k = k i = 0, ∵| i |=| j |=| k |= 1,∴ i i = j j = k k = 1.

a b = a x bx + a y b y + a z bz数量积的坐标表达式

a b , a b =| a || b | cosθ cos θ = | a || b | a x bx + a y b y + a z bz cosθ = 2 2 2 2 2 2 a x + a y + a z bx + b y + bz两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为

a⊥b a x bx + a y b y + a z bz = 0

例 1 已知 a = {1,1, 4}, b = {1, 2,2},求(1) ) a b ;( )a 与 b 的夹角 ；(2)解 (1) a b = 1 1 + 1 ( 2) + ( 4) 2 = 9.

( 2) cosθ =

a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az2 2 2

bx + b y + bz2 2

2

3π π . ∴θ = 4

1 , = 2

垂直. 例 2 证明向量c 与向量(a c )b (b c )a 垂直证

[(a c )b (b c )a ] c= [(a c )b c (b c )a c ]

= (c b )[a c a c ]

=0∴ [(a c )b (b c )a ]⊥c

二、两向量的向量积实例 设O 为一根杠杆 L 的支点， 的支点， 有一力 F 作用点处. 于这杠杆上 P 点处.力 F 与OP 的夹角为 θ ,力

F 对支点O 的力矩是一向量 M ,它的模Fθ

| M |=| OQ || F |L

O

P Q

=| OP || F | sinθ

M 的方向垂直于OP 与 F 所决定的平面, 指向符合右手系. 定的平面 指向符合右手系

定义 向量 a 与b 的向量积为 c = a × b 向量积为

| c |=| a || b | sinθ 的夹角) (其中θ 为a 与b 的夹角 其中 c 的方向既垂 直于 a , 又垂直于 b , 指向符 合外积” 右手系.向量积也称为“叉积” 右手系 .向量积也称为“叉积”、“外积”. 关于向量积的说明：

关于向量积的说明：

(1) a × a = 0. ( 2) a // b a × b = 0.

( a ≠ 0, b ≠ 0 )

向量积符合下列运算规律： 向量积符合下列运算规律： (1) a × b = b × a . ) (2)分配律： (a + b ) × c = a × c + b × c . )分配律： 为数： (3)若 λ ) 为数： (λa ) × b = a × (λb ) = λ (a × b ).

设 a = a x i + a y j + az k ,

b = bx i + b y j + bz k

a × b = (a x i + a y j + a z k ) × (bx i + b y j + bz k )

∵ i × i = j × j = k × k = 0, k ×i = j, j × i = k , k × j = i , i × k = j . = (a y bz a z b y )i + (a z bx a x bz ) j + (a x b y a y bx )k向量积的坐标表达式

∵ i × j = k,

j ×k = i ,

向量积还可用三阶行列式表示

i a × b = ax bx由上式可推出

j ay by

k az bz

a x a y az a // b = = bx b y bz

不能同时为零，但允许两个为零， b x 、 b y 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，

a x a y az 例如， 例如， = = a x = 0, a y = 0 0 0 bz补充

| a × b |表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积. 的平行四边形的面积

c = a×b b

a

例 3

求 与 a = 3i 2 j + 4k , b = i + j 2k 都

垂直的单位向量. 垂直的单位向量

解

i

j ay by

k

i

j

k

c = a × b = ax bx= 10 j + 5k ,

az = 3 2 4 bz 1 1 2

∵ | c |= 102 + 52 = 5 5 ,

c 1 2 ∴c = ± j+ k . = ± |c | 5 50

例4解

在顶点为 A(1, 1,2) 、 B(5, 6,2)和

C (1,3, 1)的三角形中，求 AC 边上的高BD . 的三角形中，AC = {0,4, 3} AB = {4, 5,0}三角形ABC的面积为 的面积为 三角形A

B

D

C

1 1 25 2 2 2 S = | AC × AB | = 15 + 12 + 16 = , 2 2 2 2 2 | AC | = 4 + ( 3) = 5, 1 25 1 S = | AC | | BD | = 5 | BD | 2 2 2 ∴| BD |= 5.

两两垂直，符合右手规则， 例 5 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且

| m |= 4 ,| n |= 2 ,| p |= 3 ,计算( m × n) p . ∧ 解 | m × n |=| m || n | sin( m , n ) = 4 × 2 × 1 = 8,同向， 依题意知 m × n 与 p 同向，

∧ ∴θ = ( m × n , p ) = 0

( m × n) p =| m × n | | p | cosθ= 8 3 = 24.