高等数学A上册3-5 函数的极值与最值

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第三章第五节函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题

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一、函数最值和极值的定义求出某些量的最大值和最小值应该是很有意义的.如工厂生产多少产品才能使利润最大，产品怎样设计才能使用料最省等。最值的定义：设函数f ( x )在区间I上有定义, x0 I,如果对于 x I,有 f ( x ) f ( x0 ),称f ( x0 )是f ( x )在区间I上的最大值。

极值的定义：如果f ( x0 )是f ( x )在x0的某个邻域内的最大值，称 ( x0 )是f ( x )的极大值. f所以极大值就是局部的最大值。

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最值与极值的区别：最值是整体概念

y

o a x1 x2 x3 x4 x5 b x最值与极值的联系：x 1, x4为极大值点,x 2, x5为极小值点

而极值是局部概念.

最值的候选点

端点

x 3不是极值点, x4为最大值点a为最小值点

内点(极值点)所以要求函数在一个区间上的最值，可先求函数在什么点取得极值。

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二、函数极值的求法由上图可看出，如果函数在极值点处有切线，则切线是水平的。

定理1(极值存在的必要条件)如果函数 ( x )在x0处取得极值，且 ( x0 )存在， f f则f ( x0 ) 0. ( x0称为函数的驻点)

所以函数的极值点如果可导必定是它的驻点.

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证明: 0

yox0

0 ( x x0 0) 0 ( x x0 0)

x

函数与其极限的局部同号性

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极值的候选点

驻点(可导的点)导数不存在的点

但反之不真，驻点不一定是极值点。例. y x, y x 0 0,但x 0不是极值点.3

问题：如何判断候选点是否真的是极值点？

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定理2(取得极值的充分条件)设f ( x )在点x0连续,如果在x0的某个邻域内， (1)当x x0,f ( x ) 0,当x x0,f ( x ) 0,

则f ( x )在点x0取得极大值。( 2)当x x0,f ( x ) 0,当x x0,f ( x ) 0,则f ( x )在点x0取得极小值。

(3)如果在x0的左右两侧f ( x )不变号，则 f ( x )在x0处不取得极值。

所以如果一个连续点左右两侧的导数异号，则此点必是极值点。

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y

y

oyx0

x

x0

(极值点)x

oy

(不是极值点)x

o

x0

x

o

x0

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求极值的步骤:(1)求导数 f ( x );( 2)求驻点(即 ( x ) 0的点)和导数不存在 f的点(极值的候选点);

( 3)考察在候选点左右两侧 ( x )的符号,判断 f极值点并求极值。

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例1求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5的极值.f ( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)解:令 f ( x ) 0,得驻点 x1 1, x2 3.列表讨论x

( , 1) 1

( 1,3)

30极小值

( 3, )

f ( x )f ( x)

0极大值

极大值 f ( 1) 10,

极小值 f ( 3) 22.

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f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图

形如下M

m

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3 23例2.求函数y x x的单调区间和极值。 2 1 1 3解: y 1 x 1 1 3 ( x 0) x令y 0,得驻点x 1.当x 0时，导数不存在。xy

( ,0)

0不存在

(0,1)

10极小值

(1, )

y

极大值

极大值 f (0) 0,极小值 f (1) 1 2 .

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3 23 y x x图形如下 2

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用二阶导数判断极值点定理3.设 f ( x0 ) 0, f ( x0 )存在， (1)如果 f ( x0 ) 0,则f ( x0 )是f ( x )的极小值。(2)如果 f ( x0 ) 0,则f ( x0 )是f ( x )的极大值。

f ( x ) f ( x0 ) lim 0,证(1): f ( x0 ) x x 0 x x0 f ( x ) f ( x0 )则在x0的某去心邻域, 0.函数与其 x x0极限的局

当x x0,f ( x ) f ( x0 ) 0,当x x0,f ( x ) f ( x0 ) 0, f ( x0 )是f ( x )的极小值。

部同号性

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前例求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5的极值.f ( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)解: f ( x ) 6 x 6 6( x 1)令 f ( x ) 0,得驻点 x1 1, x2 3.

. f ( 1) 12 0, x 1是极大值点

. f (3) 12 0, x 3是极小值点极大值 f ( 1) 10,

极小值 f ( 3) 22.

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三、最值的求法最值的候选点端点内点(极值点)驻点导数不存在的点所以如果已知函数的最值存在，可以直接比较在端点、驻点和导数不存在的点的函数值。而闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。