初中数学竞赛第二轮专题复习(3)几何

初中数学竞赛第二轮专题复习

初中数学竞赛第二轮专题复习（3）

几何证明的基本方法（2）

割补法

在求解平面几何问题时，根据问题的题设和结论，合理适当地将原来的图形割去一部分，或补上一部分，变成一个特殊的、简单的、整体的、熟悉的图形，使原来问题的本质得到充分显示，通过对新图形的分析，探索原来问题的答案，我们把这种方法称之为割补法.

1.1割补法证明举例：如图，在四边形ABCD中，

∠B =∠C=60，BC=1，以CD为直径作圆与AB相切

于点M，且交BC于点E，求线段BE的长度.

法一：（割出等腰三角形）

法二：（割出平行四边形）

法三：（割出正方形）

法四：（补出正三角形）

法五：（补出直角三角形） 0

1.2几种常见的割补策略：

（1）补出三角形：

0例题1：梯形ABCD中，AB//CD，∠A+∠B=90，AB=a，CD=b，，E，F分别是AB，

CD的中点，求EF的长度.

例题2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又有AE 0.5BD，求证：BD平分∠ABC.

例题3：凸六边形ABCDEF的六个内角都相等，AB=a ，BC=b，CD=c，DE=d，求六边形的面积.

（2）补出四边形：

例题4：在等腰三角形ABC的两腰AB，AC上分别取两点E与F，使AE=CF，若BC=2，求证：EF 1.

变换法1

某些平面几何同题，由于图形中的几何性质比较隐晦，条件分散，题设与结论间的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现，使之难以思考而感到束手无策，如果我们能对图形作各种恰当的变换，把原图形或原图形中的一部分从原来的位置变换到另一个位置，或作某种变化，往往能使图形的几何性质明白显现，分散的条件得到汇聚，就能使题设和结论中的元素由分散变为集中，相互间的关系变得清楚明了，从

而能将求解问题灵活转化，变难为易，我们把这种恰当地进行图形变换来求解平面几

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何间题的方法称为几何变换法.

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换，平

1.1合同变换：在一个几何变换（以下简称变换）下，如果任意两点之间的距离等于变化后的两点之间的距离，则称f是一个合同变换，合同变换只改变图形的相对位置，不改变其形状和大小、合同变换有三种基本类型：平移变换，轴反射变换，旋转变换.

（1）平移变换：将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫做平移变换，定方向称为平移方向，定距离称为平移距离，显然，在平移变换下，两对应线段平行（或共线）且相等，因此，凡已知条件中含有平行线段，特别是含有相等线段的平面几何间题，往往可用平移变换简单处理，平移时可移线段，也可移角或图形. 例题1：如图，△ABC中，在AB，AC上分别取BE，CD，使BE=CD，连BD、CE，若BD、CE的中点M、N的连线交AB于P，交AC于Q，求证：AP=AQ.

（2）轴反射变换：把平面上图形中任一点都变到它关于定直

线l的对称点的变换，叫做关于直线l的轴反射变换，直线

Z叫做反射轴，显然，在轴反射变换下，对应线段相等，两

对应直线或者相交于反射轴上，或者与反射轴平行.通过轴

反射变换构成（或部分构成）轴对称图形是处理平面几何

问题的重要思想方法.

例题2：设ABCD是一块正方形纸板，用平行于BC的直线PQ和RS将之等分为三个矩形，折叠纸板，使点C落到AB上C'点处，S点落在PQ上的S'点处，且BC' 1，试求AC'的长.

（3）旋转变换：将平面上图形中每一点都绕一个定点O按

定方向(逆时针或顺时针)转动定角 的变换，叫做旋转变

换，的点O叫做旋转中心， 叫做转幅或旋转角，易知，

在旋转变换下，两对应线段相等，两对应直线的交角等于

转幅，特别是在转幅为好的旋转变换下，两对应线段垂直

且相等.

对于已知条件中含有正方形或等腰三角形或其他特殊图形问题，往往可运用旋转变换来处理.

例题3：如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形（AC>AE），现固定△ABC而将△ADE绕A在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使△BDM为腰直角三角形.

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参量法、三角法

对于某些平面几何问题，倘若能将其看做代数问题的实际应用或转化为代数问题来处理，则既不失几何证明或求解的优美，又能为我们提供了更为灵活、广阔的求解途径。通过代数概念，应用代数知识，借助参数、三角、坐标、向量等代数工具，将几何问题转化为代数运算，从而解决平面几何问题，这种方法称之为代数法.

1.1参量法、三角法：剖析众多的数学间题，尤其是综合性较强的数学题，常因条件之间的关联比较隐蔽、松散而表现得错综复杂，这时，我们如能仔细分析比较题设条件之间或条件与结论之间的异同点，以及潜存着的数量关系或位置关系上的特殊联系，抓住其中的共性量，将其作为承上启下。左右逢源的参(媒介)量，围绕它来展开变换、推证和运算而最后又消去它，这样常能方便地认清解题途径，恰当而适时地将各条件纳人解题过程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活 …… 此处隐藏：2701字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……