第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计

第五节

正态总体均值与方差的 区间估计

一、单个总体的情况 二、两个总体的情况 三、小结

一、单个总体 N ( µ ,σ ) 的情况2

设给定置信水平为 1 α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n

为总体 N ( µ ,σ 2 )的样本 , X , S 2 分别是样本均值和

样本方差.

1. 均值µ 的置信区间 2 (1) σ 为已知 由上节例1可知: , 由上节例1可知: µ的一个置信水平为1 α的置信区间 σ zα / 2 . X ± n

(2) σ 2为未知 ,S 1 µ的置信度为 α的置信区间 X ± tα / 2 (n 1) . n 推导过程如下: 推导过程如下:

σ zα / 2 中含有未知参数 σ , 不 由于区间 X ± n 能直接使用此区间 ,

但因为 S 2 是 σ 2 的无偏估计 , 可用 S = 替换 σ ,

S

2

又根据第六章定理三知 X µ ~ t ( n 1), S/ n X µ < tα / 2 ( n 1) = 1 α , 则 P tα / 2 ( n 1) < S/ n 即S S P X tα / 2 ( n 1) < µ < X + tα / 2 ( n 1) =1 α , n n

µ 于是得 的置信度为 1 α 的置信区间S X± tα / 2(n 1) . n

有一大批糖果, 现从中随机地取16袋 例1 有一大批糖果 现从中随机地取 袋, 称得 重量(克 如下 如下: 重量 克)如下 506 508 499 503 504 510 497 512

514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量服从正态分布, 设袋装糖果的重量服从正态分布 试求总体均值

µ 的置信度为 0.95 的置信区间. 1 α = 0.95, α 2 = 0.025 解n 1 = 15,t0.025 (15) = 2.1315,

计算得 x = 503.75, s = 6.2022,得µ 的置信度为 95% 的置信区间

6.2022 × 2.1315 503.75 ± 16 即

(500.4, 507.1).

就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 克与507.1 就是说估计袋装糖果重量的均值在 克与 克之间, 这个估计的可信程度为95%. 克之间 这个估计的可信程度为95%.

若依此区间内任一值作 为 µ 的近似值 , 其误

6.2022 × 2.1315 × 2 = 6.61 (克). 差不大于 16这个误差的可信度为95%. 这个误差的可信度为

续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解

α

2

= 0.025,

1

α2

= 0.975,

n 1 = 15,附表2-2 附表

查 χ 2 ( n 1) 分布表可知 :2 χ 0.025 (15) = 27.488,

附表2-1 附表

2 χ 0.975 (15) = 6.262,

计算得 s = 6.2022,代入公式得标准差的置信区间 (4.58, 9.60).

2. 方差σ 2 的置信区间根据实际需要 , 只介绍 µ 未知的情况 .

1 方差σ 2 的置信度为 α 的置信区间 (n 1)S 2 (n 1)S2 2 χ (n 1) , χ 2 (n 1) . α/2 1 α / 2推导过程如下: 推导过程如下:

因为 S 2 是 σ 2 的无偏估计 ,根据第六章第二节定理二知

( n 1) S 2

σ

2

~ χ ( n

1),2

则

2 ( n 1) S 2 2 P χ 1 α / 2 ( n 1) < < χ α / 2 ( n 1) = 1 α , 2 σ 即

( n 1) S 2 ( n 1) S 2 P 2 <σ2 < 2 =1 α , χ 1 α / 2 ( n 1) χ α / 2 ( n 1)于是得方差σ 2 的置信度为 1 α 的置信区间

( n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 χ ( n 1) , χ 2 ( n 1) . α /2 1 α / 2

进一步可得: 进一步可得:

σ 标准差 的一个置信度为1 α 的置信区间 n 1S , χ 2 (n 1) α/2 . 2 χ1 α / 2 (n 1) n 1S

注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).

二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况2 1 2 2

设给定置信度为1 α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,L,Yn 为第二2

分别是第一、 个总体 N ( µ 2 ,σ 2 )的样本 , X ,Y 分别是第一、二个2

分别是第一、 总体的样本均值 , S1 , S 2 分别是第一、二个总体 的样本方差.

2

2

1.

两个总体均值差µ1 µ2 的置信区间2 2

(1) σ 1 和σ 2 均为已知

1 µ1 µ2的一个置信度为 α的置信区间 2 2 σ1 σ 2 X Y ± zα / 2 + . n2

n1 推导过程如下: 推导过程如下 因为 X , Y 分别是 µ1 , µ 2 的无偏估计 , 所以X Y 是µ1 µ 2的无偏估计 ,

由 X , Y 的独立性及

σ 12 σ 22 , Y ~ N µ2 , , X ~ N µ1 , n1 n2

σ 12 σ 2 2 , 可知 X Y ~ N µ1 µ 2 , + n1 n2

或

( X Y ) ( µ1 µ 2 )σ12

n1

+

σ2

2

~ N (0, 1),

n2

1 于是得µ1 µ2的一个置信度为 α的置信区间2 2 σ1 σ 2 X Y ± zα / 2 . + n1 n2

σ (2) 1 和σ 2 均为未知 ,2 2

只要n1和n2都很大 (实用上 > 50即可), 则有

µ1 µ2的一个置信度为 α的近似置信区间 12 2 S1 S2 X Y ± zα / 2 . + n1 n2

( 3) σ 1 = σ 2 = σ 2 , 但 σ 2 为未知 ,2 2

1 µ1 µ2的一个置信度为 α的置信区间

1 1 X Y ± tα / 2(n1 + n2 2)Sw + . n1 n2 其中

Sw

2

( n1 1) S1 + ( n2 1) S 2 , Sw = Sw 2 . = n1 + n2 22 2

为比较 , 两种型号步枪子弹的枪口速度 两种型号步枪子弹的枪口速度, 例3 为比较 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取 型子弹 发 随机地取 型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为 型子弹 x1 = 500(m / s ), 标准差 …… 此处隐藏：993字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……