第3章3.1.2 向量组的线性相关性

作业：85页 3,4, 13,14,15,18

第一节

n维向量

一、n维向量的概念及运算 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ..., an 组成的数组

a1 a2 an

称为 n维向量，这 n 个数 称为 该向量的 n 个分量。

(a1 , a2 , ..., an )

T

n 维向量写成一行 称为行向量， 行向量就是行矩阵

a1 T T (a1 , a2 , ..., an ) a2 行向量的转置 就是列向量 a n n 维向量写成一列 称为列向量，列向量就是列矩阵 T a1 T a2 ( a1 , a2 , 列向量的转置 就是行向量 a n

..., an )

行向量和列向量 是两个不同的向量

向量的线性运算

类似于矩阵 的线性运算

定义

设

(a1 , a2 ,..., an )

(b1 , b2 , ..., bn ) 1) 若 与 的n个分量 分别相等 ，即

a1 b1 , a2 b2 , ..., an bn 则称 与 相等 2) 与 的和 (a1 b1 , a2 b2 , ..., an bn ) 与 的差 (a b , a b , ..., an bn ) 1 1 2 2 3) 数 与 的积 ( a1 , a2 , , an )零向量 (0,0,...,0) 0 若 0 则 a1 0, a2 0, ..., an 0

若 0

则

0

或

0

二、向量的内积 a b1 1 a 两个向量 2 b2 ... ... an bn 内积 ( , ) a1b1 a2b2 ... anbn

a1 a2T

内积 ( , ) 特别 ( , ) a12 a2 2 ... an 2 T 的模 或长度 a12 a2 2 ... an 2

b1 b 2 a1b1 a2b2 ... anbn ... an ... bn T

1 2 , 两个向量 1 0 0 1

的内积 ( , ) 1 2 1 0 0 1 2 ( , ) 12 ( 1)2 02 2 2 2 2 2 ( 1) 0 1

1

1 2 1 是单位向量 2 0

第二节 向量组的线性相关性

定义3.2.1 n维向量组 1 , 2 , ..., m , m 个实数 1 , 2 , ..., m ,

则

1

1 2 2 ... m m

2 2 0 0 1 4 例如 1 1 , 2 2 , 2 1 2 2 2 3 2 5 7 1 5 3 2 1 2

所确定的 向量 称为 向量组 1 , 2 , ..., m 的一个线性组合 也称 向量 能由向量组 1 , 2 , ..., m 线性表示 1 , 2 , ..., m 称为 线性表示 的

系数

3 能由 1 , 2 线性表示 1 1 1 0 2 1 能由 1 , 2 线性表示

0 0 1 0 2

0 能由 1 , 2 线性表示

62页中间 n维 单位坐标 向量组 任何一个 n 维向量 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 n 1

a1 a2 an

a1 0 a2 0 0 a1 1 a2 2 an n 0 0 即 a1 1 a2 2 an n

0 a1 0 a2 a an n

任何一个 n 维向量 一定能由 单位坐标向量组线性表示若 a1 1 a2 2 则 a1 0, a2 0, an 0, n 线性无关 因此 单位坐标向量组 1 , 2 ..., an n 0

1 0 2 是否线性无关 例如 1 , 1 2 2 2 1 1 2 1 3 1 0 1 , 2 , 3 x1 0 0 2 , 1 设 x1 即 4 x 20 线性相关 1 x2 2 1 , 3 2 x 1 x 2 0 x 2 0 0 3 存在 1 , 线性相关 零向量 非零 实数 0 一个 x x 使 0, 0 设 1 1 2 2 x3 3 x10 xx 0, 0, x 0 即 2 1 2 2 x x 3 0 1 4 2 非零向量 一个 0 当 0 0, 时 线性无关 x1 0 x1 0, x 2 0, 0 2 x 3 x 3 该向量组 线性相关 2 x 零向量， 向量组中 1 则 如果 有一个 0 2 x 4 x 1 , 2 线性无关 全为零， 1 必须 其中 x3 为 任何 实数 x1 , xx 2 3 2 x 2 x3 m 0 x1 2, 1, 0 1, x 3 0 2 ... 3 x 02

定义3.2.2 设 1 1 2 2 ... m m 0 (1) 如果 存在 不全为零 的实数 1 , 2 , ..., m ,使 (1) 成立 则 称 向量组 1 , 2 , ..., m 线性相关 如果 (1) 中的 1 , 2 , ..., m 必须 全为零， 则 称 向量组 1 , 2 , ..., m 线性无关

0

a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n 0 a11 a12 a x a x ... a x 0 21 1 22 2 n 2n a21 a22 A ... ... ... ... ... ... a a a a x x x ... 0 mn n m1 1 m 2 2 m 1 am 2 x1 1 x2 2 ... x n n 0 [ 1 2 Ax 0 齐次方程组只有零解 其中的 x1 , x2 , ... x n

... a1n x1 ... a2 n x 2

... ... x ... x ... a mn n ...

n ]

全为0

其系数矩阵的列向量组 线性无关

齐次方程组 有非零解 其中的 x1 , x2 ,

x n 不全为0

其系数矩阵的列向量组 线性相关

例1 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关，

3 1 3 1 1 2 , 2 2 3 , 证明向量组 1 , 2 , 3 线性无关。x1 1 x2 2 x3 3

证 设

下面证明 x1 , x2 , x3全部为零 x1 1 x1 2 x2 2 x2 3 x3 1 x3 3 0 ( x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0 x1 x3 0 x x 2 0 1 x x 2 3 0

0

1 , 2 , 3 线性无关，(1) (2) (3)

(1) (2)(3)x3 0

x1 0, x2 0,

所以向量组 1 , 2 , 3 线性无关。

87页13题 设 1 1 , 2 1 2 , ..., r 1 2 ... r

1 , 2 , ..., r 线性无关， 证明向量组 , ,..., 线性无关 2 1 r x1 1 x2 2 xr r 0 证 设 x1 1 x2 ( 1 2 ) ... xr ( 1 2 ... r ) 0 ( x1 x2 ... xr ) 1 ( x2 ... xr ) 2 ... ( xr 1 xr ) r 1 xr r 1 , 2 , ..., r 线性无关， …… 此处隐藏：2278字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……