黄学良电路基础Chapter5
时间：2025-03-09
黄学良电路基础Chapter5
主编 黄学良
黄学良电路基础Chapter5
第5章
非正弦周期电流电路
5. 1 非正弦周期量的傅里叶级数展开5. 2 非正弦周期量的有效值、平均 值和平均功率 5. 3 非正弦周期电流电路的分析 5.4 对称三相电路中的高次谐波
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5. 1 非正弦周期量的傅里叶级数展开5. 1. 1 非正弦周期信号线性电路 且 一个或多个同频正弦电源，则稳态响应是同频的正弦量。
非线性电路 或
非正弦电源周期、非周期
,则稳态响应是非正弦量。
常见的非正弦周期量： i 脉 冲 波 形 方 波 T t
i
T
t
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i
i
T
t
T 半波整流波形i
t
尖顶波 (如：电机的磁化电流)D u i
TO
t
u
R
O
T
t
二极管整流电路及波形
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非正弦量可分为周期量与非周期量两种 本章主要讨论 非正弦周期电源作用于线性电路的情况 线性非正弦周期电流电路的计算方法，即谐波分析 (Harmonic Analysis)。其过程: 1、将非正弦周期电源分解成一系列不同频率的正弦量； (应 用周期函数的傅里叶级数分解方法) 2、计算在各个正弦量单独作用下的电路的响应； 3、将各个响应按时域形式叠加。(线性电路的叠加定理) 实质就是将非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流 电路的计算。
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5. 1. 2 周期函数分解为傅里叶级数周期性的电源(信号)可以用周期函数表示： f(t)=f(t+kT) T为周期，k=0,1,2…。
由数学分析可知，若f(t)满足狄里赫利条件，则可以展开 成收敛的傅里叶级数： 2π f (t ) a0 (ak cosk t bk sin k t ) T 角频率k 1
式中 1 a0 T 2 ak T 2 bk T
1 2π 0 f (t ) dt 2π 0 f (t ) d( t ) T 2 π 1 0 f (t ) cosk tdt π 0 f (t ) cosk td( t ) T 1 2π 0 f (t ) sin k tdt π 0 f (t ) sin k td( t ) T
傅 里 叶 系 数
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f (t ) a0 (ak cosk t bk sin k t )k 1
f (t ) A0 Akm (cos k t k )k 1
式中
A0 a02 Akm ak bk2
恒定分量(或直流分量) Akmcos(k t+ k)称为f (t)的k次谐波
ak Akm cos k bk Akm sin k bk k arctan( ) ak
分量，第2项A1mcos( t+ 1)称为1次谐波(或基波),周期为T;其余 各项统称为高次谐波。
高次谐波频率是基波的整数倍，习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波 ，将k为偶数的分量称为偶次谐波。
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利用周期函数的对称性，可以简化系数a0、ak、bk的确定。偶函数 ：f(t)=f(-t),波形对称于纵轴，则bk=0f (t)
T 2
O
T 2
t
f (t ) a0 ak cos k tk 1
奇函数 ：f(t)=-f(-t),波形对称于原点，则ak=0f (t)
T 2
O
T 2
t
f (t ) a0 bk sin k tk 1
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奇谐波函数：f(t)=f(t+T/2),波形具有镜对称性，则a2k=b2k=0f (t)
T 2
O
T 2
t
f (t ) [a2
k 1 cos(2k 1) t b2 k 1 sin(2k 1) t ]k 1
函数的奇偶性不仅与波形有关，还与计时起点的选择有关， 计时起点的选择不同，函数的奇、偶性质也不同。因此适当 选择计时起点有时会使函数的分解简化。但是函数是否为奇 谐波函数与计时起点的选择无关，只决定于函数的波形是否 为半波对称。
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例
求图中周期性方波信号f ( t )的傅里叶级数展开式。 求f ( t )在一个周期内的表达式 U m f (t ) 0 0<t f (t) Um
解
T <t T 2
T 2 2 bk T
O
T 2
TT 2 0
t
f ( t )为奇函数 ak = 01 a0 T
T 2 0
2 f (t ) sin k tdt TT 2
U m sin k tdt
2U m ( cos k t ) k T 0
T 2 0
1 f (t ) dt T
T 2 0
U m dt
Um 2
2U m (1 cos kπ) kπ 2U m k为奇数 kπ k为偶数 0
f (t )
U m 2U m 1 1 (sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 π 3 5
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傅里叶级数是一个无穷三角级数，实际运算中，只能截取有 限的项数，具体运算时截取多少项，要根据精度的要求和电 路的频率特性来确定。 频谱 为了表示一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后包含哪 些频率分量以及各频率分量的相对大小，将各谐波振幅Akm 随角频率kω变动的情形用图形表示，称为幅度频谱( Amplitude Spectrum)。 将各谐波初相 km随角频率kω变动的情形用图形表示，就 得到相位频谱( Phase Spectrum)。
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Akm
O
1 2 1 3 1 4 1 5 1
k 1
由于各谐波的角频率是ω的整数倍，所以相邻两谱线的 间隔也是频率的整数倍，这种谱线间具有一定间隔的频 谱称为离散频谱，有时又称为线频谱。
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5. 2 非正弦周期量的有效值、 平均值和平均功率 5. 2. 1 有效值有效值的一般定义(以电流i为例): I 对于正弦电流def
1 T 2 i dt 0 T
i I m cos( t i )
Im 2I
对于非正弦周期电流，假设可以展开成下列傅里叶级数形式：
i I 0 I km cos(k t k )k 1
电流的有效值为
1 T 2 I [ I I cos( k t )] dt 0 km k 0 T k 1
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