黄学良电路基础Chapter5

主编 黄学良

黄学良电路基础Chapter5

第5章

非正弦周期电流电路

5. 1 非正弦周期量的傅里叶级数展开5. 2 非正弦周期量的有效值、平均 值和平均功率 5. 3 非正弦周期电流电路的分析 5.4 对称三相电路中的高次谐波

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5. 1 非正弦周期量的傅里叶级数展开5. 1. 1 非正弦周期信号线性电路 且 一个或多个同频正弦电源，则稳态响应是同频的正弦量。

非线性电路 或

非正弦电源周期、非周期

,则稳态响应是非正弦量。

常见的非正弦周期量： i 脉 冲 波 形 方 波 T t

i

T

t

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i

i

T

t

T 半波整流波形i

t

尖顶波 (如：电机的磁化电流)D u i

TO

t

u

R

O

T

t

二极管整流电路及波形

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非正弦量可分为周期量与非周期量两种 本章主要讨论 非正弦周期电源作用于线性电路的情况 线性非正弦周期电流电路的计算方法，即谐波分析 (Harmonic Analysis)。其过程: 1、将非正弦周期电源分解成一系列不同频率的正弦量； (应 用周期函数的傅里叶级数分解方法) 2、计算在各个正弦量单独作用下的电路的响应； 3、将各个响应按时域形式叠加。(线性电路的叠加定理) 实质就是将非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流 电路的计算。

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5. 1. 2 周期函数分解为傅里叶级数周期性的电源(信号)可以用周期函数表示： f(t)=f(t+kT) T为周期，k=0,1,2…。

由数学分析可知，若f(t)满足狄里赫利条件，则可以展开 成收敛的傅里叶级数： 2π f (t ) a0 (ak cosk t bk sin k t ) T 角频率k 1

式中 1 a0 T 2 ak T 2 bk T

1 2π 0 f (t ) dt 2π 0 f (t ) d( t ) T 2 π 1 0 f (t ) cosk tdt π 0 f (t ) cosk td( t ) T 1 2π 0 f (t ) sin k tdt π 0 f (t ) sin k td( t ) T

傅 里 叶 系 数

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f (t ) a0 (ak cosk t bk sin k t )k 1

f (t ) A0 Akm (cos k t k )k 1

式中

A0 a02 Akm ak bk2

恒定分量(或直流分量) Akmcos(k t+ k)称为f (t)的k次谐波

ak Akm cos k bk Akm sin k bk k arctan( ) ak

分量，第2项A1mcos( t+ 1)称为1次谐波(或基波),周期为T;其余 各项统称为高次谐波。

高次谐波频率是基波的整数倍，习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波 ，将k为偶数的分量称为偶次谐波。

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利用周期函数的对称性，可以简化系数a0、ak、bk的确定。偶函数 ：f(t)=f(-t),波形对称于纵轴，则bk=0f (t)

T 2

O

T 2

t

f (t ) a0 ak cos k tk 1

奇函数 ：f(t)=-f(-t),波形对称于原点，则ak=0f (t)

T 2

O

T 2

t

f (t ) a0 bk sin k tk 1

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奇谐波函数：f(t)=f(t+T/2),波形具有镜对称性，则a2k=b2k=0f (t)

T 2

O

T 2

t

f (t ) [a2

k 1 cos(2k 1) t b2 k 1 sin(2k 1) t ]k 1

函数的奇偶性不仅与波形有关，还与计时起点的选择有关， 计时起点的选择不同，函数的奇、偶性质也不同。因此适当 选择计时起点有时会使函数的分解简化。但是函数是否为奇 谐波函数与计时起点的选择无关，只决定于函数的波形是否 为半波对称。

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例

求图中周期性方波信号f ( t )的傅里叶级数展开式。 求f ( t )在一个周期内的表达式 U m f (t ) 0 0<t f (t) Um

解

T <t T 2

T 2 2 bk T

O

T 2

TT 2 0

t

f ( t )为奇函数 ak = 01 a0 T

T 2 0

2 f (t ) sin k tdt TT 2

U m sin k tdt

2U m ( cos k t ) k T 0

T 2 0

1 f (t ) dt T

T 2 0

U m dt

Um 2

2U m (1 cos kπ) kπ 2U m k为奇数 kπ k为偶数 0

f (t )

U m 2U m 1 1 (sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 π 3 5

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傅里叶级数是一个无穷三角级数，实际运算中，只能截取有 限的项数，具体运算时截取多少项，要根据精度的要求和电 路的频率特性来确定。 频谱 为了表示一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后包含哪 些频率分量以及各频率分量的相对大小，将各谐波振幅Akm 随角频率kω变动的情形用图形表示，称为幅度频谱( Amplitude Spectrum)。 将各谐波初相 km随角频率kω变动的情形用图形表示，就 得到相位频谱( Phase Spectrum)。

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Akm

O

1 2 1 3 1 4 1 5 1

k 1

由于各谐波的角频率是ω的整数倍，所以相邻两谱线的 间隔也是频率的整数倍，这种谱线间具有一定间隔的频 谱称为离散频谱，有时又称为线频谱。

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5. 2 非正弦周期量的有效值、 平均值和平均功率 5. 2. 1 有效值有效值的一般定义(以电流i为例): I 对于正弦电流def

1 T 2 i dt 0 T

i I m cos( t i )

Im 2I

对于非正弦周期电流，假设可以展开成下列傅里叶级数形式：

i I 0 I km cos(k t k )k 1

电流的有效值为

1 T 2 I [ I I cos( k t )] dt 0 km k 0 T k 1

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1 T 2 I [ I I cos( k t )] dt 0 km k 0 T k 1

展开式平方后将得到下列两种类型的积分项：一种是谐波 自乘积积分项，一种是谐波交叉乘积积分项，分别为1 T 1 T 1 T 1 T

T 0 T 0 T 0 T 0

I 02d t I 02 I k2m cos2 ( k t k )d t I k2 2 I 0 cos( k t k )d t 0 2 I km cos( k t k ) cos( q t q )d t 0 k q

谐波交叉乘积积分项为零是根据三角函数的正交性

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非正弦周期电流i的有效值为

1 2 I I I I I I I I I km k 1 k 1 22 0 2 1 2 2 2 3 2 0 2 k 2 0I 式中 I k km

2

为k

次谐波的有效值

同理，非正弦周期电压的有效值为

1 2 U U U U U U U U U km k 1 k 1 22 0 2 1 2 2 2 3 2 0 2 k 2 0

非正弦周期量的有效值等于它的恒定分量与各次谐波分 量有效值的平方和的平方根。

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5. 2. 2平均值的定义(以电流i为例):Iavdef

平均值此“平均”的含义与平均功率 中“平均”的含义有些不同。

1 T i dt T 0

正弦电流的平均值为I av 4I m 1 T I m cos( t) dt T 0 TT

T

4

0

cos( t)dt

4 4I m 4I sin( t) m 0.637 I m T 2 0

i相当于正弦电流经全波 整流后的平均值

O

t

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非正弦周期电流的测量 用不同类型的仪表测量同一个非正弦周期电流，会得 到不同的结果：1 T (a) 磁电系仪表，偏转角α∝ T 0 idt 。故测量结果是电流 1 T 2 (b) 电磁系仪表，偏转角α∝ T 0 i dt 。故测量结果是电流

的恒定分量I0。 的有效值I 。

(c) 全波整流仪表，偏转角 α∝ Iav 的平均值。

。故测量结果是电流

因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择 合适的仪表。

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5. 2. 3 平均功率u和i如为同频率的非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为u U 0 U km (cos k t uk )k 1

i

u

N

i I 0 I km (cos k t ik )k 1

当 u、i 取关联参考方向，则任意一端口吸收的瞬时 功率为：p ui [U 0 U km cos(k t uk )] [ I 0 I km (cos k t ik )]k 1 k 1

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则平均功率P为： (平均功率的定义与前述平均值的定义有所不同)1 P T

T

0

pd t

利用三角函数的正交性：同频率电压与电流谐波的乘积在 一个周期内积分不为零，不同频率电压与电流谐波的乘积 上述积分为零。化简可得：

P U0 I 0 U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k 式中 U k U km 2 , Ik I km 2 , k uk ik k 1 , 2, 3

即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功率的代数和

若某电阻中流过的非正弦周期电流的有效值为I,该电阻吸收 的平均功率 2 2 2P P0 Pk RI 0 RI k RIk 1 k 1

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例

已知某一端口网络的端口电压和电流均为非正弦周期量i [1 0.75cos( t 40 ) 0.43cos(2 t 75 )] Au [63 82.53cos( t 20 ) 56.64 cos(2 t 50 )]V

求此一端口网络端口电压、电流的有效值和吸收的平均功率 解 u、i的有效值分别为1 1 2 2 U U0 U12 U 2 632 (82.53)2 (56.64)2 V 94.76 V 2 2

1 1 2 2 I I0 I12 I 2 12 (0.75)2 (0.43)2 A 1.17 A 2 2

一端口网络吸收的平均功率为P U 0 I 0 U 1 I 1 cos 1 U 2 I 2 cos 2

[63 1 89.51W 82.53 0.75 56.64 0.43 cos(20 40 ) cos(50 75 )]W 2 2

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5. 3 非正弦周期电流电路的分析如前述，分析非正弦周期电流电路的方法一般用谐波分析法： 1、把给定的非正弦周期性电源电压或电流分解为傅里叶级 数，高次谐波取到哪一项，要根据所要求的精度以及电 路的频率特性来确定。

2、分别计算电路在电源电压或电流的恒定分量和各次谐波分 量单独作用下的响应。在恒定分量作用下，电感等效为短路，电容等效为开路，可 应用直流电阻电路的计算方法求解。 在各次谐波作用下电路为正弦电流电路，可应用相量法求 解。应该注意的是电感、电容元件对于不同频率的谐波呈 现不同的电抗，所以必须分别计算各次谐波的响应。