3最大切应力

3最大切应力

4 主切应力和最大切应力 主切应力 任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。 任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值 。 极值切应力又称为主切应力。 极值切应力又称为主切应力。 在主坐标系下 ， 某点主应力状态已知 ， 任意微分 在主坐标系下，某点主应力状态已知， 斜面上的切应力2 τ n = (σ 1 σ 2 )2 l 2 m 2 + (σ 2 σ 3 )2 m 2 n 2 + (σ 3 σ 1 )2 n 2 l 2

由于有： 由于有： 上式中消去n,得到τn与l、m的函数关系 上式中消去 ， 、 的函数关系2010-11-28 1

l 2 + m2 + n2 = 1

3最大切应力

2 2 τ n = (σ 12 σ 32 ) l 2 + (σ 2 σ 32 ) m 2 + σ 32 [(σ 1 σ 3 ) l 2 + (σ 2 σ 3 ) m 2 + σ 3 ]

2

当微分面转动时 ， 切应力随之变化 。 我们所求的 当微分面转动时，切应力随之变化。 为何值时， 是 ， 当 l、 m、 n为何值时 ， 微分面上的切应力取 、 、 为何值时 极值。因为该点应力状态已知， 极值 。 因为该点应力状态已知 ， 即主应力三个分 量已知。即由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得 量已知。即由二元函数 求极值的方法可求得 微分面上的切应力的极值(偏导数为0) 微分面上的切应力的极值(偏导数为 )。2 f (l , m) = τ n 2 = σ 12 σ 32 l 2 + σ 2 σ 32 m 2 + σ 32 (σ 1 σ 3 ) l 2 + (σ 2 σ 3 ) m 2 + σ 3

(

)

(

)

[

]

2

f l = σ 12 σ 32 l 2 (σ 1 σ 3 ) l 2 + (σ 2 σ 3 ) m 2 + σ 3 (σ 1 σ 3 ) l = 0 2 f m = σ 2 σ 32 m 2 (σ 1 σ 3 ) l 2 + (σ 2 σ 3 ) m 2 + σ 3 (σ 2 σ 3 ) m = 0

(

(

)

)

[

[

]

]

2010-11-28

3最大切应力

对此方程组求解分不同情况 f l = { σ 1 σ 3 2 (σ 1 σ 3 ) L2 + (σ 2 σ 3 ) m 2 }L = 0 f m = { σ 2 σ 3 2 (σ 1 σ 3 ) L2 + (σ 2 σ 3 ) m 2 } m = 0

(

(

) [ ) [

]

]

当σ1≠σ2≠σ3时， 1)l = m = 0, n = ±1 ,此解指 ) 此解指n 2)l ≠ 0, m = 0 时，l = ± )1与主平面法线方向一致， 与主平面法线方向一致，该方向 即为主平面方向，主微分面上切应力为零。 即为主平面方向，

2 2 3)l = 0, m ≠ 0 时， l = 0 m = ± 1 n = ± 1 ) 2 2 4)l ≠ 0, m ≠ 0 时，此种情况不可能成立。 此种情况不可能成立。 ) 5)若方程中消去 ，求解则有 l = ± 1 m = ± 1 )若方程中消去m, 2 22010-11-28

m=0 n=±

1

n=03

3最大切应力

主平面和主切平面上所作用的应力l m n 切应力 正应力 0 0 0

±10 0 0

0

±1 20

2

±1 ±1

2 2

±10 0

±1

±10

±1

2

±1

2

0

± (σ 2 σ 3 ) 2 ± (σ 1 σ 3 ) 2 ± (σ 1 σ 2 ) 2

σ 3 σ 2 σ1

(σ 2 + σ 3 )

2

(σ 1 + σ 3 ) 2

(σ 1 + σ 2 ) 2

前3组，表示切应力为极小值=0时，是主平面 后3组，表示切应力为极大值，为主切应力平

面2010-11-28 4

3最大切应力

后3组，他们分别表示与一个主平 面垂直和其余2个主平面成45度 角

1 1 n = 0, l = ± ,m=± 2 2

1 1 1 1 l = 0, m = ± ,n=± m = 0, l = ± ,n=± 2 2 2 2

2010-11-28

3最大切应力

将求得l,m,n带入式子中可得： 带入式子中可得： 将求得 带入式子中可得 主切应力τ 12 = ± σ1 σ 22

τ 23 = ±

σ 2 σ32

τ 13 = ±

σ1 σ 32

最大切应力τ max = τ 13 =水应力状态。 水应力状态。

σ1 σ 32

则切应力在通过该点的任何微分面上为零， 当σ1=σ2=σ3时，则切应力在通过该点的任何微分面上为零，静

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