1.4.2正弦函数余弦函数的性质1(教学设计).doc

1.4.2 （ 1）正弦、余弦函数的性质( 教学设计 )

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教学过程：

一、创设情境 , 导入新课：

1．现实生活中的“周而复始”现象：

（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？

（2）现在下午 2 点 30，那么每过 24 小时候是几点？

（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）

2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律

y

1–

x 52O2 5

2 2

1–

正弦函数 f ( x) （观察图象）

sin x 性质如下：

1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2 规律是：每隔 2 重复出现一次（或者说每隔2k ,k Z 重复出现）

3 这个规律由诱导公式sin(2k +x)=sinx 可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当 x 增加 2k （ k Z ）时，总有 f ( x 2k ) sin( x 2k ) sin x f (x) ．

也即：（1）当自变量 x 增加 2k 时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意 x ， sin( x 2k ) sin x 恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、师生互动，新课讲解：

1．周期函数定义：对于函数 f ( x ) ，如果存在一个非零常数

T ，使得当 x 取定义域

内的每一个值时，都有： f ( x +T)=f ( x ) 那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数，非零常数

T

叫做这个函数的周期。

问题：

（1）正弦函数 y sin x ，x R 是不是周期函数，如果是，周期是多少？（ 2k ，k Z 且 k 0 ） 余弦函数呢？

（2）观察等式 sin(

) sin 是否成立？如果成立，能不能说

是 y=sinx 的周期？

4

2 4

2

（3）若函数 f ( x) 的周期为 T ，则 kT ， k Z * 也是 f (x) 的周期吗？为什么？

（是，其原因为： f (x) f (x T ) f ( x 2T ) L f ( x kT ) ）

2. 最小正周期： T 往往是多值的（如 y=sinx 2 ,4 , ,-2 ,-4 , 都是周期）周

期 T 中最小的正数叫做 f ( x ) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2 （一般称为周期）

从图象上可以看出 y sin x ， x R ； y cosx ， x R 的最小正周期为 2

；

3、例题讲解

例 1（课本 P35 例 2） 求下列三角函数的周期：

① y 3cos x ② y sin 2x （3） y 2sin( 1

x

) ， x R ．

2 6

解：（1）∵ 3cos( x 2 ) 3cos x ，

∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x 2 ，函数 y 3cos x ， x R 的值才能重复出现， 所以，函数 y 3cos x ， x R 的周期是 2 ． （2）∵ sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2x ，

∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ，函数 y sin 2x ， x R 的值才能重复出现，

所以，函数 y sin 2x ， x R 的周期是 ．

（3）∵ 2 sin[(

1 x

) 2 ] 2 sin[

1 ( x

4 )]

1 ), ，

2 6 2

sin(x

6

2

6

∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x 4 ，函数 y sin 2x ， x R 的值才能重复出现，

所以，函数 y 2sin( 1

x ) ， x R 的周期是 4 ．

2 6

变式训练 1：求下列三角函数的周期：

（1）y=sin3x （2）y=cos x （3）y=3sin x

3 4

(4) y=sin(x+ 10 ) (5) y=cos(2x+ )

3

解： 1 sin(3x+2 )=sin3x 又 sin(3x+2 )=sin3(x+ 2 )

3

即： f ( x + 2 )= f (x) ∴周期 T=2

3 3

2 cos x =cos( x 2 )=cos 1 ( x 6 )

3 3 3

即： f ( x +6 )= f ( x ) ∴T=6

3 3sin x =3sin( x +2 )=3sin( 1 8 ）)= f ( x +8 )

4 4 （ x

4

即： f(x+8 )=f(x) ∴T=8

4 sin(x+ 10 )=sin(x+ +2 ) 即 f(x)=f(x+2 )

10

∴T=2

5 cos(2x+ )=cos[(2x+ 3 )+2 ]=cos[2(x+ )+ ]

3 3

即： f(x+ )=f(x) ∴T=

由以上练习，请同学们自主探究 T 与 x 的系数之间的关系。

小结：形如 y=Asin( ωx+φ) (A, ω, φ为常数 ,A 0, x R) 2 周期 T

| | y=Acos( ωx+φ) 也可同法求之

一般结论：函数 y Asin( x ) b 及函数 y A cos( x ) b ， x 2 R 的周期 T | | 课堂巩固练习 2 快速求出下列三角函数的周期

(1)y=sin 3 x （2） y=cos4x+1 (3) y= 1 cos( 5x) (4)y=sin( 4

2

(5)y=3cos(-

2 x )-1

5 3

三、课堂小结： 1. 周期函数定义：对定义域内任意 x, 都有 f(x+T)=f(x).

2.y=sin x 与 y=cos x 的周期都是 2k , 最小正周期是 2π.

1 ) x 3

4

3. y Asin( x ) b 及 y A cos( x …… 此处隐藏：3158字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……