概率论习题十一参考答案

概率统计

11.1QE[Cn 1习题十一参考答案

(Xi+1 Xi)∑i=12]=C∑E(Xi2+1 2XiXi+1+Xi2)i=1

n 1

i=1222222令n 1=C∑(σ+µ 2µ+σ+µ)=C 2(n 1)σ=σ2，可解得C=11.∴当C=时，原估计量为σ2的无偏估计量。2(n 1)2(n 1)

X 12σ),ξ=~N(0,1),nσ11.2QXi ~N(0,

n1σσ )=E(∑|Xi |)=∴E(σ 1)/ nE|ξ|= 1)/ n/π.kkki=1

令其等于σ，即得：k=2( 1).π

()θ2

11.3QE()=E(X)=θ,P{| θ|≥ε}≤2=2→0,n→∞,εnε故是θ的一致性估计量。2(n 1)S2(n 1)S2211.4Q~χ(n 1)，~χ(n2 1)，122σσ

2(n1 1)S12(n2 1)S2∴E[]=(n1 1)，E[]=(n2 1)，22σσ

2(n1 1)S12(n2 1)S2D[]=2(n1 1)，D[]=2(n2 1)。σσ

于是E(S12)=σ22，E(S2)=σ2，D(S12)2σ42σ42=，D(S2)=。n1 1n2 1

222∴E(aS12+bS2)=aE(S12)+bE(S2)=(a+b)σ2，即Z=aS12+bS2为σ2的无偏估计。

D(Z)=

由D(aS122+bS2)=a2D(S12)+b22D(S2)222(1 )24=2σ(+)=2σ(+)，n1 1n2 1n1 1n2 14n 1n 1()=0 a=，∴b=1 a=。1+2 21+2 2

=X，再写出X的概率密度，最后讨论是否有Eθ =θ？11.5提示：先求出θL(n)(n)L

11.6提示：令Yi=Xi+Xn+i,i=1,L,n，说明∑(Xi+Xn+i 2)=∑(Yi )2，且2

i=1i=1nn

Yi,i=1,L,n相互独立，从而得出证明。11.7置信区间；置信度；越短11.8可算得=6.0,

(1)引进r.v.U=s=0.5745. µ

~N(0,1)，由P{|U|<zα/2}=1 α=0.95，可解得µ的置信度为0.95的置信区间为±z0.025σ/=6.0±1.96(0.6/3)=(5.608,6.392).

(2)引进r.v.T= µ~t(n 1)，由P{|T|<tα/2}=1 α=0.95，可解得µ的置信度为0.95S的置信区间为±t0.025(n 1)s/=6.0±2.3060(0.5745/3)=(5.5584,6.4416).