全等三角形辅助线中的中位线--讲义--学生版

全等三角形中的中位

线

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

例题精讲

中位线的应用

1

【例10】 AD是 ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：AE AC．

3

AEF

B

D

C

【例11】 如图所示，在 ABC中，AB AC，延长AB到D，使BD AB，E为AB的中点，连接CE、CD，

求证CD 2EC．

A

E

BC

【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证

CD=2CE

C

A

EBD

【例12】 已知：ABCD是凸四边形，且AC<BD． E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD

于N，AC和BD交于G点． 求证：∠GMN>∠GNM．

A

E

D

MG

B

F

C

1

【例13】 在 ABC中， ACB 90 ，AC BC，以BC为底作等腰直角 BCD，E是CD的中点，求证：

2

AE EB且AE BE．

E

C

D

AB

【例14】 如图，在五边形ABCDE中，求证： ABC AED 90 ， BAC EAD，F为CD的中点．BF EF．

A

B

E

C

F

D

【例15】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是 ABC内的一点， PAC PBC，

过P作PM AC于M，PL BC于L，D为AB的中点，求证DM DL．

C

M

L

【例16】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在 ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，

使DE DF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：

(1) DEM≌ FDN； (2) PAE PBF．

ADB

A

E

F

E

【例17】 已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求

证：PM＝PN(1991年泉州市初二数学双基赛题)

【例18】 已知，如图四边形ABCD中，AD BC，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长

线分别交于M、N两点． 求证： AME BNE．

N

MF

D

C

【巩固】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在 ABC中，BC AC，动点D绕 ABC

的顶点A逆时针旋转，且AD BC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

M

N

F(N)D

F

C

FNM

A

E图1

B

A

E图2

B

A

E图3

BD

AEB

MD

⑴ 如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 AMF BNE(不需证明)．

⑵ 当点D旋转到图2或图3中的位置时， AMF与 BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

【例19】 如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：FM=

E

1

AC． 2

ED

A

M

C

HA

【巩固】(2004全国数学联赛试题)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方

形ABGE和正方形DCHF． 设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M． 求证：点M为EF的中点．

l

F

G

H

B

C

G

E

【习题3】如右下图，在 ABC中，若 B 2 C，AD BC，E为BC边的中点．求证：AB 2DE．

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