第二章非线性方程的数值解法

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2.1引言

在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程

f(x)=0 (2.1)

，其中f(x)。

方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点

*m如果f(x)可以分解成f(x) (x x)g(x),其中m为

*g(x) 0正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m。当m=1时称x*。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1)当且仅当

* f(x) f(x) f*(m 1)(x) 0,f*(m)(x) 0*

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当f(x)不是x

。如果f(x)

）。一般称n次多项式构成的方程，称对应的函数方程，则称为代数，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方

anx an 1xnn 1 a1x a0 0(an 0)为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的

一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,

。本章将介绍常用的求解

非线性方程的近似根的几种数值解法

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第二章非线性方程的数值解法

通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行①。即方程有没有根？如果有

，有几个根？

②。即将每一个根用区间隔

，这个过程实际上是获得方程各根的

。

③。将根的初始近似值按某种方法

，直到满足预先要求的精度为止

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，它既可以用来求解代

，也可以用来解超越方程，并且仅限于求

。

：

确定根的初值;。

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2.2二分法

二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近

。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且

f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知,f(x)= 0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。

二分法的基本思想是:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度

。

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2.1.1

确定有根区间的方法

，首先必须圈定根所在的范围，

，采取适当的数值方法确定具有一定

。

，其根的个数（实或复的）与其次数

。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无，并没有什么固定的圈根方法

，就几何上讲,是求曲线y=f (x)与

x。

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由高等数学知识知,设f (x)为区间[a,b]上的单值连续,如果f (a)·f (b)<0,则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。y

y=f(x)a b x

由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1)画图法 (2)逐步搜索法

记笔记

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(1)

画图法

画出y = f (x)

。

也可将f (x) = 0分解为 1(x)= 2(x)

。

例如xlogx-1= 0

可以改写为logx=1/x

画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内， 1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根，从而看出曲线与x轴交点的

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(1)画图法 y1 y x

y gx0 2 3 x

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(1)画图法

对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线

y

y=kf(x)

y=f(x)

0

x

记笔记

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(2)搜索法

(2)逐步搜索法

对于给定的f (x),设有根区间为[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0+ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间[xi-1,xi]。

y 0 A B x

a1 b 1 a2 b 2

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例1方程f(x)=x3-x-1=0 f(0)<0 f(2)>0

确定其有根区间

解：用试凑的方法，不难发现在区间(0,2)内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下

f(x)

可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根

x

0–

0.5–

1.0–

1.5+

2+

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用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长

h要选择适当h

。

为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的基础上采用对分法继续缩小该含根子区间使之既能把根隔离开来，工作量

。

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2.2.2

二分法求根过程

设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最后得出所求的根。具体过程如下①取有根区间[a,b]之中点,将它分为两半,分点x0 y

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