概率论与数理统计 习题五 课后答案

概率论与数理统计 习题答案 王勇主编 高等教育出版社

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概率论与数理统计 习题答案 王勇主编 高等教育出版社

习 题 五

1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。 解 设X为已取出的废品只数，则X的分布为

X

即

012

PX

0810

1845

2

P

课

822 ， 454598442

, EX

454515

EX

DX EX (EX)

2

w.kh

求1周内期望利润是多少？

1

2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5

万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。

解 设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为10,5,0, 2. 又设X为机器一周内发生故障的次数，则X~B(5,0.2)，于是，

5

P(T 10) P(X 0) (0.8) 0.3277 P(T 5) P(X 1) C50.2 (0.8) 0.4096 类似地可求出T的分布为 4

ww

T 2

P0.05790.20480.40960.3277

所以一周内的期望利润为

ET 2 0.0579 5 0.4096 10 0.3277

5.209（万元）

·55·

da

w

2

所以

案网

1 45

4488 . 1581405

0510

.co

828218

101091098

m

概率论与数理统计 习题答案 王勇主编 高等教育出版社

3．假设自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N( ,1)，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的内径X有如下关系：

解 ET 1 P(X 10) 20 P(10 X 12) 5 P(X 12) (

10

) 20[ (12 ) (10 )] 5[1 (12 )] 1

25 (12 ) 21 (10 ) 5

ww

w.kh

两边取对数得

2 22 ln

)2 (10 )2]21 12

e

25

即

)(12 )

(10

212 252 0

即

11 ln

12

时，平均利润最大.

4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

的分布律、分布函数和数学期望. 解 X~B(3,即

223

)，分布律为P(X k) C3k(k()3 k555

dw

2

2

dET

25 (12 ) 21 (10 ) d

案网

21 25

25. 21

2，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X5

k 0,1,2,3.

·56·

.c

o

问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大.

m

1,若X 10,

T 20,若10 X 12,

5,若X 12.

概率论与数理统计 习题答案 王勇主编 高等教育出版社

X

P

02712515412523612538 125

X的分布函数为

x 0, 0,

27 ,0 x 1, 125 81

,1 x 2, F(x) 125 117

2 x 3, 125,

x 3. 1,

5472241506 EX

1251251251255

P(X k) (1 p)

后

求EX与DX 解1 EX

daw

k 1

k 1

5．设随机变量服从几何分布，其分布列为

答案p，0 p 1,k 1,2,

k p x

k 1 x q

课

k(1 p)

k 1

p p kq

k 1

k 1

p (x)

k

k 1

w.kh

由函数的幂级数展开有 所以

其中 q 1 p

x

k 0

k

1， 1 x

1 1

1 p EX p

(1 x)2 1 x x q

因为

x q

ww

EX

2

k

k 1

2

pq

k 1

x 2 p k

， p x( x) p 22 p k 1 x q (1 x) x q

2

所以

DX EX (EX)

2

2 p1q

. 222

ppp

.co

x q

1. p

m

·57·

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解2 EX P 2pq 3pq kpq

2k 1

p(1 2q 3q kq ),

S 1 2q 3q kq

2

k 1

2k 1

设

, （1）

k

则

（1）–（2）得

所以

S

从而，得

EX pS p

2

2

ww

w.kh

于是

S1

2222n 1

p(1 2q 3q nq ) pS1，

22232n

qS1 q 2q 3q nq ,

2n 1

(1 q)S1 1 3q 5q (2n 1)q S2,

23n

qS2 q 3q 5q (2n 1)q ,

2q2q2n 1

(1 q)S2 1 2(q q q ) 1 1 ，

1 qp

12q

S2 2，

pp

所以

课

EX p(故得X的方差为

后

EX p 2pq 3pq npq

S212q 2 3， ppp

2

DX EX2 (EX)2

·58·

daw

2

2

2

n 1

11

. 2

pp

答案网

11

，

(1 q)2p2

12q12q

，

p2p3pp2

12q1q1 p

2 2 2 2. ppppp

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(1 q)S 1 q q2 qk 1

1， 1 q

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