通信原理-傅里叶变换

学习通信原理基础知识傅里叶变换

傅立叶变换傅立叶变换的概念F (ω ) =

∫

+∞ ∞

f ( t ) e jω t dt

1 f (t ) = 2π

∫

+∞ ∞

F (ω ) e j ω t d ω

F(ω) 叫做 f (t ) 的傅氏变换,象函数,可记做 F (ω ) = [ f (t) ]f (t ) 叫做 F(ω) 的傅氏逆变换,象原函数, f ( t ) = 1

[ F(ω)]

1 f (t ) = 2π

∫

+∞

∞

F (ω )e jω t dω 也叫做f (t )的傅氏积分表达式

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1.单边指数信号 e αt 信号表达式 f ( t ) = 0 (t ≥ 0 ) (t < 0 )

F (ω ) = ∫ f (t )e ∞

∞

jω t

1 dt = α + jω1

(α > 0)

– 幅频 F(ω) =

ω – 相频 (ω ) = arctg ( ) α

α 2 +ω2

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f(t)

0F (ω )α1

t

(ω )π2

1 2α

03α

0

ω

ω

π2

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2.双边指数信号f (t ) = eF ( jω ) = F [ e α t

α t

( ∞ < t < +∞)∞ α t

]= ∫ e ∞

e

jωt

2α ∴ F ( jω ) = 2 α +ω2 f(t)

2α dt = 2 α +ω2

(ω ) = 0

(ω ) = 0F (ω )

0

t

0

ω

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3、矩形单脉冲信号(门函数) 矩形单脉冲信号(门函数)F ( jω )

(ω )

f (t )A

Aτ

τ : 脉冲Gτ (t )

π0 2π 4π 6π

τ2

0

τ2

t

(a)

(b)F ( jω )Aτ

τ

τ

τ

ω

0

2π

4π

6π

8π

τ

τ

(c)

τ

τ

ω

0

2π

4π

6π

8π

τ

τ

τ

τ

ω

(d)

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F ( jω ) = ∫

∞

∞

f ( t )e

jω t

dt = A∫ e

τ 2 τ 2

jω t

A dt = (e jω

j

ωτ 2

e

j

ωτ 2

)

2A ωτ ωτ = sin = Aτsa( ) 2 2 ωF ( jω ) = Aτ sa(

ωτ2

)

(ω ) =

0 π

4nπ 2( 2n + 1)π <ω< τ τ 2( 2n + 1)π 2( 2n + 2)π <ω< τ τ

n = 0,1,2 L

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4、单位冲激函数 δ(t)( )、δ ( t )的FT (付里叶变换) 1

δ (t )(1)

F ( jω )

1

物理意义：在时域中变化 异常剧烈的冲激函数包含 幅度相等的所有频率分量。 因此，这种频谱常称为“均 匀谱“或”白色谱“。

0(a)

t∞

0 (b)

ω

F( jω) =F[δ (t)] = ∫ δ (t)e jωt dt = e jω0 = 1 ∞

∴δ (t) 1 1 ∞ jωt 1 ∞ β ω jωt 1 2β δ 反变换式： 反变换式： (t) = ∫ 1 e dω = lim ∫ e e dω = lim 2 2 ∞ 2π ∞ β →0 2π β →0 2π β + t

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一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对f (t ) = 1f (t ) = sin ω 0tF (ω ) = 2πδ (ω )

[sin ω 0t ] =jπ [δ (ω + ω 0 ) δ (ω ω 0 ) ] [ cos ω0t ] =π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω ω0 )]

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傅立叶变换的性质

1、线性特性

若 F [ f i (t )] = Fi ( jω ) n ∑ a i f i (t ) = i =1

i = 1、、 n 2 Ln i

则F

∑ai =1

f i ( jω )

a i 常数

说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。

2、延时特性(时移性质 ) 延时特性( 若f (t ) F ( jω ), 那么 f (t t0 ) F ( jω )e jωt0说明： 说明：信号在时域中的 则系统设计得每个频率 失真。 失真。 延时和在频域中的移相 相对应。 相对应。 时延 t 0 , 应用： 应用：要使一个

信号 f1 ( t ) 通过一个系统传输后仅

分量都滞后相位 ω t 0 , 否则输出会

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f (t )

e

jω t 0

f (t t 0 )

3、频移性质 若 f ( t ) F ( j ω ), 则 f ( t ) e jω c t F ( j ω j ω c )说明：一个信号在时域 中乘以 e jω c t , 等效于在频域中将整个 说明： 频谱延频率轴右移 ω c 。 频谱搬移技术， 系统中得到广泛应用， 如调幅、同步解调、 频谱搬移技术，在通信 系统中得到广泛应用， 如调幅、同步解调、 完成。 变频等过程在此基础上 完成。 1 f ( t ) cos ω c t [F ( j ω + j ω c ) + F ( j ω j ω c )] 2 j f ( t ) sin ω c t [F ( j ω + j ω c ) F ( j ω j ω c )] 2

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4、尺度变换特性 若 f ( t ) F ( j ω ), 1 ω 则 f ( at ) F(j ) a a a 是非零的常数

当 a = 1时， f ( t ) F ( j ω ),说明： 等效于在频域中扩展。 说明：信号在时域中压 缩 ( a > 1)等效于在频域中扩展。 反之， 等效于在频域中压缩。 反之，信号在时域中扩 展 ( a < 1)等效于在频域中压缩。 在无线电通信中， 一对矛盾。 在无线电通信中，通信 速度与占用频带宽度是 一对矛盾。

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f1 (t )

F1 ( j ω )

1

ττ2

τ2

0

t

4π

τ

2π

2π

4π

τ

τ

τ

ω

f 2 (t )

F2( jω) 2τ

1

τ

0

τ

t

ω2π

τ

π π τ τ

2π

τ

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傅氏变换的卷积与卷积定理( 1. ∞, +∞ ) 上的卷积定义

若给定两个函数 f1 (t ), f 2 (t ) ,则积分

∫

+∞

∞…… 此处隐藏：1301字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……