2012高考总复习《走向清华北大》精品课件37平面解析几何

第八模块

平面解析几何

(必修2:第三章直线与方程;第四章圆与方程;选修1-1:第二章圆锥曲线方程)

第三十七讲直线的倾斜角 斜率及直线方程

回归课本 1.直线的倾斜角在直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,以x轴为基准,x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角,当直线

与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.因此,倾斜角的范围是[0°,180°).

2.直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,即斜率 k=tanα (α≠90°).设两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则过这两点的斜率

y2 y1 k . x2 x1注意:因为当α=90°时,tanα不存在,所以此时直线不存在斜率,即与x轴垂直的直线没有斜率,在坐标关系上,表现为该直线上任意两点横坐标相同.但任何直线都有倾斜角,且

倾斜角范围为[0°,180°).

3.直线方程的形式 (1)点斜式:方程的形式为y-y1=k(x-x1).不能用点斜式表示的直线为与x轴垂直的直线.

(2)两点式:方程的形式为

为与坐标轴垂直的直线.

y y1 x x1 ,不能用两点式表示的直线 y2 y1 x2 x1

(3)斜截式:方程的形式为y=kx+b,不能用斜截式表示的直线为与x轴垂直的直线. (4)截距式:

方程的形式为

标轴平行或经过原点的直线.

x y 1,不能用截距式表示的直线为与坐 a b

(5)一般式:方程的形式为Ax+By+C=0(A B不同时为0),它是关于x、y的二元一次方程.注意:以上几种直线方程的形式,每一种方程形式都有其各自

成立的条件和适用范围.我们用待定系数法求出方程的形式,还要注意验证不满足该方程形式的直线是否符合题意,若满足题意,还应再加上该直线.

考点陪练

1.(2010山东淄博)直线l经过A 2,1 、B 1, m 2 (m R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是( ) A. 0, C. 0, 4 B. 0, 4 D. 0, 4 3 4, , 2

m2 1解析: k 1 m2≤1,又k tan , 0≤ ,所以l的 1 2 倾斜角的取值范围为 0, , . 4 2 答案:D

2.(2010福建福州2月)设直线2x my 1的倾斜角为 ,若 m ( , 2 3 ) [2, ),则角 的取值范围是 ________ . 2解析:据题意知tan , m 2 3或m≥2, m

0 tan 答案: 0, 6

3 3 或0 tan 1. 0, , . 3 6 4 3 4,

3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a、b满足( A.a+b=1 C.a+b=0 ) B.a-b=1 D.a-b=0

解析:∵0°≤α<180°,又sinα+cosα=0,∴tanα=-1, a即 ,∴a-b=0. 1 b答

案:D

4.设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则( ) A.0°≤α<180° B.0°≤α<135°

C.0°<α≤135°角不能为0°,由

D.0°<α<135°

解析:注意直线倾斜角的取值范围,直线l与x轴相交,其倾斜

答案:D

0 180 ,得0°<α<135°. 0 ≤ 45 180 ,

5.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是 ) A.1条 C.3条 B.2条 D.4条

(

解析:注意有直线过原点时截距相等为0和不过原点时倾斜角为135°两种情况.答案:B

类型一

直线的倾斜角和斜率

解题准备:直线的斜率与倾斜角的关系设直线l的倾斜角为α,斜率为k. (1)0°≤α<180°,k∈(-∞,+∞). (2)当α=0°时,k=0;当0°<α<90°时,k>0.当α=90°时,k不存在;当90°<α<180°时,k<0.

(3)当0°≤α<90°时,k随着α的增大而增大且k≥0;当90°<α<180°时,k随着α的增大而增大且k<0.但不能说直线的倾斜角α越大,斜率k也越大. (4)直线的斜率与倾斜角的关系如图所示.

【典例1】直线l过点A 1, 2 , B m,3 , 求:若倾斜角 , ,求m的取值范围. 4 3 [解]由直线l过点A 1, 2 , B m,3 ,1 则k ,而倾斜角 , , m 1 4 3 k tan [1, 3]. 1 3 1≤≤ 3, ≤m 1≤1. m 1 3 3 3 1 ≤m≤2.故m 1 , 2 . 3 3

类型二

求直线的方程

解题准备:(1)对直线问题,要特别注意斜率不存在的情况; (2)求直线方程常用方法——待定系数法.待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程,然后按照它们满足的条件求出参数.