1994考研数三真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)

x x

22 x2dx _____________.

2

(2) 已知f (x) 1,则lim

x 0

x

_____________.

f(x0 2x) f(x0 x)

dy

dx

(3) 设方程exy y2 cosx确定y为x的函数,则

0a10L0 00aL0

2

M ,其中ai 0,i 1,2,L,n,则A 1 (4) 设A MMM

000Lan 1 an00L0

(5) 设随机变量X的概率密度为

2x,0 x 1,

f(x)

其他， 0,

以Y表示对X的三次独立重复观察中事件 X

1

出现的次数,则P Y 2 2

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

2x x 1

(1) 曲线y exarctan的渐近线有 ( )

(x 1)(x 2)

1

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数 0,而级数

a

n 1

2n

收敛,

则级数

( 1)

n 1

n

( )

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关 (3) 设A是m n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B AC的秩为r1,则

( )

(A) r r1 (B) r r1

(C) r r1 (D) r与r1的关系由C而定

(A) 事件A和B互不相容 (B) 事件A和B相互对立 (C) 事件A和B互不独立 (D) 事件A和B相互独立

(4) 设0 P(A) 1,0 P(B) 1,P(AB) P(AB) 1,则 ( )

(5) 设X1,X2,L,Xn是来自正态总体N( , 2)的简单随机样本,X是样本均值,记

S21

1nn 1 (Xi X)2,S22 1n(X X)2

1n i

,i i 1

S21n21n

n 1 (Xi ),S2

3 4

(Xi )2,i 1n i 1

则服从自由度为n 1的t分布的随机变量是 ( )

(A) t

X (B) t X

(C) t

X (D) t X

三、(本题满分6分)

计算二重积分

(x y)dxdy,其中D (x,y)x2 y2

x y 1 . D

四、(本题满分5分)

设函数y y(x)满足条件

y 4y 4y 0,

(0) 2,y (0) 4,

求广义积分 y 0

y(x)dx.

五、(本题满分5分)

已知f(x,y) x2

arctany2

x 2fx yarctany,求 x y

.

六、(本题满分5分)

设函数f(x)可导,且f(0) 0,F(x)

x

n 10

tf(xn tn)dt,求lim

F(x)

x 0

x2n

.

七、(本题满分8分)

已知曲线y a

0)与曲线y (x0,y0)处有公共切线,求: (1) 常数a及切点(x0,y0)；

(2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.

八、(本题满分6分)

假设f(x)在[a, )上连续,f (x)在 a, 内存在且大于零,记

F(x)

证明F(x)在 a, 内单调增加.

九、(本题满分11分) 设线性方程组

f(x) f(a)

(x a),

x a

x1 a1x2 a12x3 a13, 23 x1 a2x2 a2x3 a2,

23

x1 a3x2 a3x3 a3, x ax a2x a3.

4 14243

(1) 证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此线性方程组无解；

(2) 设a1 a3 k,a2 a4 k(k 0),且已知 1, 2是该方程组的两个解,其中

1 1

, 1 ,

1 1 2

1 1

写出此方程组的通解.

十、(本题满分8分)

001 设A x1y有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件. 100

十一、(本题满分8分)

假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且同分布

P Xi 0 0.6,P Xi 1 0.4(i 1,2,3,4),

求行列式X

X1X3

X2X4

的概率分布.

十二、(本题满分8分)

假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N( ,1),内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:

1,X 10,

T 20,10 X 12,

5,X 12.

问平均内径 取何值时,销售一个零件的平均利润最大?

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知

22xxxdx dx 2原式 22 x2 02 x2 22 x2

2

2

1

2 2

2 x

2

20

ln(2 x) ln6 ln2 ln3.

(2)【答案】1

【解析】根据导数的定义,有f (x0) lim

x 0

f(x0 x) f(x0)

.

x

所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于

f(x0 2x) f(x0 x)

x 0x

f(x0 2x) f(x0) f(x0 x) f(x0) lim x 0x

f(x0 2x) f(x0)f(x0 x) f(x0)

( 2)lim lim 2f (x0) f (x0) 1.

x 0x 0 2x xlim

所以 原式 lim

x 0

x1

1.

f(x0 2x) f(x0 x)1

yexy sinx

(3)【答案】y xy

xe 2y

【解析】将方程e y cosx看成关于x的恒等式,即y看作x的函数. 方程两边对x求导,得

xy

2

yexy sinx

. e(y xy ) 2yy sinx y xy

xe 2y

xy

【相关知识点】两函数乘积的求导公式： f(x) g(x) f (x) g(x) f(x) g (x).

0 1 a 1

(4)【答案】

0 0

001

a20

000

1 an 0 0

0

A 0

1

0 A

1

1

an 1

0