2016高考新课标数学(理)大一轮复习第十一章 算法初步、推理证明、复数 第4节

[考情展望] 1.考查数学归纳法的原理和证 明步骤.2.用数学归纳法证明与等式、不等式或 数列有关的命题.

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[基础梳理]数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立，推出当n =k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的所 有正整数都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

[基础训练] 1.判断正误，正确的打“√”,错误的打 “×”. (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验 证当n=1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用 数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可 以不用. ( × ) (2)× (3)× (4)× (5)√ 答案：(1) (6)√

1 1 1 1 2.已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1-2+3-4+ -n= 1 1 1 2 n+2+n+4+ +2n 时，若已假设

n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题 )

为真，则还需要用归纳假设再证( A.n=k+1 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立

B.n=k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立

解析：因为假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题 成立，故下一个偶数为k+2.

1 1 1 11 3.已知 f(n)=n+ + + + n2 ,则( n+1 n+2 1 1 A.f(n)中共有 n 项，当 n=2 时，f(2)=2+3

)

1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项，当 n=2 时，f(2)=2+3+4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项，当 n=2 时，f(2)=2+3 1 1 1 D.f(n)中共有 n -n+1 项，当 n=2 时，f(2)=2+3+42

解析：从n到n2共有n2-n+1个数，所以f(n) 中共有n2-n+1项.

4.凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内 角和为f(k+1)=f(k)+________. 答案：π

解析：易得f(k+1)=f(k)+π.

1 1 1 5.用数学归纳法证明：“1+2+3+ + n <n(n>1)”,由 2 -1 n=k(k>1)不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项的项数是 ________.

答案：2k1 1 解析：n=k 时，左边=1+2+ + k , 2 -1 当 n=k+1 时， 1 1 1 1 左边=1+2+3+ + k + + k+1 . 2 -1 2 -1 所以左边应增加的项的项数为 2k.

试题调研 考点突破 精研析 巧运用 全面攻克

┃考点一┃ 用数学归纳法证明等式—— 1 1 1 1 1 * [调研 1] 已知 n∈N ,证明：1-2+3-4+ + - = 自主练 透(1) 型 2n-1 2n1 1 1 + + +2n. n+1 n+2

1 1 [证明] ①当 n=1 时，左边=1-2=2, 1 右边=2,等式成立； ②假设当 n=k 时等式成立，即 1 1 1 1 1 1-2+3-4+ + - 2k 2k-1 1 1 1 = + + +2k, k+1 k+2

那么当 n=k+1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边=1-2+3-4+ + -2k+ - 2k-1 2 k+1 -1 2 k+1 1 1 1 1 1 = k+1+k+2+ +2k + - 2k+1 2 k+1 1 1 1 1 1 1 = + + +2k+ + k+1-2 k+1 k+2 k+3 2k+1

1 1 1 = + + + k+1 +1 k+1 +2 k+1 +k + 1 =右边， k+1 + k+1

所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合①②知，对一切 n∈N*,等式都成立.

(2) 用数学归纳法证明：对任意的 n ∈ N* , 1 n = . 2n-1 2n+1 2n+1[证明] ①当 n=1 时，左边= 1 1 =3, 1×3

1 1 + + + 1×3 3×5

1 1 右边= = ,左边=右边，所以等式成立. 2×1+1 3 ②假设当 n=k 时等式成立，即 k = , 2k+1 1 1 1 + + + 1 ×3 3 × 5 2k-1 2k+1

则当 n=k+1 时， 1 1 1 1 + + + + 1×3 3×5 2k-1 2k+1 2k+1 2k+3 k 2k+3 +1 1 k = + = 2k+1 2k+1 2k+3 2k+1 2k+3 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , 2k+1 2k+3 2k+3 2 k+1 +1 所以当 n=k+1 时，等式也成立. 综合①②知，对一切 n∈N*,等式都成立.

自我感悟解题规律

1.用数学归纳法证明等式问题是常见题型， 其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等 式两边各有多少项，初始值n0是几； 2.由n=k到n=k+1时，除等式两边变化的 项外还要充分利用n=k时的式子，即充分利 用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使 问题得以证明.

┃考点二┃ 用数学归纳法证明不等式— [调研 2] (1) 用数学归纳法证明： —自 主练 透 型1 1 1 1 n 1+2≤1+2+3+ +2n≤2+n(n∈N*). 1 1 [证明] ①当 n=1 时，左边=1+2,右边=2+1,3 1 3 ∴2≤1+2≤2,即命题成立. ②假设当 n=k 时命题成立， 1 1 1 1 k 即 1+2≤1+2+3+ +2k≤2+k,