第6章 弯曲变形 (材料力学)

学习材料力学必备课件

作者：王吉民

2010年8月

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(Deflection of Beams)

梁的位移——挠度和转角 §6-1 梁的位移 挠度和转角 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求梁的位移 §6-4* 用奇异函数法求解梁的位移 §6-5 用叠加法求梁的位移 §6-6 梁内的弯曲应变能 §6-7 简单超静定梁 §6-8 梁的刚度条件与合理刚度设计

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§6-1 梁的位移——挠度和转角 梁的位移——挠度和转角研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的： 对梁作刚度校核； 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程); 解超静定梁(变形几何条件提供补充方程) ③施工中起拱。 施工中起拱。

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弯曲变形的描述回顾： 拉压杆的变形： 回顾： 拉压杆的变形：伸长或缩短 ( l) )b

F

b1

F

l l1

圆轴扭转的变形： 圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角 )

问题： 问题：

弯曲变形怎样描述？ 弯曲变形怎样描述？

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(Deflection of Beams) 一、弯曲变形的特点C v y C1

θ

P x

轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲线， 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲线， 挠曲线 挠曲线是一条连续、 挠曲线是一条连续、光滑曲线 一条连续 对称弯曲时， 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁， 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面， 因而横截面仍保持平面，并与挠曲线正交

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(Deflection of Beams) 二、弯曲变形的描述(度量梁变形的两个基本位移量) 弯曲变形的描述(度量梁变形的两个基本位移量)挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 表示。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 表示 同向为正， 与y同向为正，反之为负。 同向为正 反之为负。 P θ 转角： 2. 转角 ： 横截面绕其中性轴转 C x 动的角度。 表示， 动的角度。 用θ 表示， 顺时针 v 转动为正，反之为负。 转动为正，反之为负。 C1 y 3、轴向位移可忽略 挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 (1) 挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v=f (x) 其方程为： 忽略剪切变形， (2) 忽略剪切变形 ， 且 梁的转角一般较小： 梁的转角一般较小：tanθ = dv dx小变形

θ = v′

(1)

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§6-2

梁的挠曲线的微分方程

请考虑推导思路) 方程推导(请考虑推导思路) 中性层曲率表示的弯曲变形公式M = (纯弯 纯弯) 纯弯 ρ EI 1

1 M ( x) (推广到非纯弯 推广到非纯弯) = 推广到非纯弯 EI ρ ( x)

由高等数学知识

1

v′′( x) =± ρ ( x) 1 + [v′( x)]2

(

)

32

挠曲轴微分方程

(1+[v′(x)] )

v′′(x)

2 32

M(x) =± EI

—— 二阶非线性常微分方程

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(Deflection of Beams)M>0 x

v′′ < 0y

(1 + [v ′( x )] )方程简化

v ′′( x )

2 3 2

M (x ) =± EI

小变形时： v′2 << 1 小变形时： 小变形时 M<0 yv ′′ > 0

x 坐标系： 坐标系：v 向下为正

d 2v M ( x) =± 2 EI dx

正负号确定: 正负号确定: 正负号确定 方程取负号 弯矩: 挠曲线下凹,弯矩M为正 弯矩 挠曲线下凹,弯矩M d 2v M(x) = 就是挠曲线近似微分方程。 就是挠曲线近似微分方程。 2 EI dx 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响; (2) 略去了 w′2项; 略去了剪力的影响; (3) θ ≈ tanθ = w′ = w′( x)

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(Deflection of Beams)由上式进行积分，再利用边界条件( condition) 由上式进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。 和连续条件(continuity condition) 确定积分常数。就可以求出梁 横截面的转角和挠度。 横截面的转角和挠度。

5.讨论： 讨论： 讨论① 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、 确定。 件)确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； ④ 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 ⑤ 缺点：计算较繁。

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§6-3

用积分法求梁的位移d 2v M ( x) = EI dx 2

挠曲线的近似微分方程为： 挠曲线的近似微分方程为：

积分一次得转角方程为： 积分一次得转角方程为：

dv ( x ) M ( x) θ ( x) = = ∫ dx + C dx EI再积分一次得挠度方程为： 再积分一次得挠度方程为： M ( x) v( x) = ∫ ∫ dx dx + Cx + D EI

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