最新高考数学(文)一轮复习提分训练 定点、定值、证明问题及答案

升级增分训练 定点、定值、证明问题

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32

，短轴端点到焦点的距离为2．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ．求证：原点O 到直线AB 的距离为定值 ，并求出该定值．

解：(1)由题意知，e ＝c a ＝

32，b 2＋c 2＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，

所以a ＝2，c ＝3，b ＝1，

所以椭圆C 的方程为x 2

4

＋y 2＝1． (2)证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255，此时，原点O 到直线AB 的距离为255． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．

则Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝16(1＋4k 2－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k

2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2， 则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－4k 2

1＋4k 2

， 由OA ⊥OB ，得k OA ·k OB ＝－1，

即y 1x 1·y 2x 2＝－1，

所以x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4－4k 2

1＋4k 2

＝0， 即m 2＝45

(1＋k 2)，满足Δ＞0． 所以原点O 到直线AB 的距离为|m |1＋k

2＝255． 综上，原点O 到直线AB 的距离为定值

255． 2．(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32

，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的周长是4＋23．

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂

线交x 轴于点E ，若C 点满足AB ―→⊥BC ―→，AD ―→∥OC ―→，连接AC 交DE 于点P ，求

证：PD ＝PE ．

解：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32

a ， 因为△PF 1F 2的周长是4＋23，

所以2a ＋2c ＝4＋23，

所以a ＝2，c ＝3，

所以b 2＝a 2－c 2＝1，

所以椭圆C 1的方程为x 24

＋y 2＝1． (2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，

设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)，

因为AB ―→⊥BC ―→，所以可设C (2，y 1)，