概率论第四章自测题参考答案

第四章 自测题参考答案与提示

时间：120分钟

一、单项选择题 (每题2分，共10分)

1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 不相关的必要条件，但不是充分条件； (C) 独立的必要条件，但不是充分条件；

(D) 独立的充分必要条件。 ( C ) 2．若方差D(X), D(Y)为非零数，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有

(A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；

(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 ( B ) 3．设随机变量X与Y独立同分布，记U=X+Y，V=X-Y，则随机变量U和V必然

(A) 不独立；(B) 相互独立；(C) 不相关；(D) 无法判断。 ( C ) 4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY) D(X)D(Y)；(D) D(X+Y) D(X-Y)。

( B )

5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为

(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 ( C )

二、填空题 (每题3分，共18分)

1．设D(X)=4，D(Y)=9， XY=0.6，则。

2．已知随机变量X~N(0, 2)( >0)，Y

在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)= 2， 则X与Y的相关系数 XY

3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数 XY=-1/2，则当aaX+Y与Y相互独立。 4．设X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度为

1 1x e2

f(x) 2

0

x 0x 0

如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= -1 ，X与Z的相关系数 XZ

4。

5．设随机变量X在区间[-1, 2]上服从均匀分布，随机变量

-1

Y= 0

1

X>0X=0 X<0

则。

6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{ X-2 4} 。 三、基本计算题 (共54分)

1．(10分) 设 , 是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布律为 P{ =i}=1/3，i=1, 2, 3 又设X=max( , )，Y=min( , )，

求 (1) 随机变量X的数学期望E(X)，(2) X与Y的相关系数 XY。 答：E(X)=22/9， XY=8/19。 提示：X与Y的联合分布律为：

2．(8分) 设随机变量X, Y的相关系数 XY=0.6，且X与Y的分布律分别为：

试求X与Y的联合分布律。 答：

提示：由边缘分布及相关系数确定联合分布，设X与Y的联合分布律为

3．(8分) 设(X, Y)的概率密度为 f(x,y)

2 x y

0 x 1, 0 y 1

其他

(1) 判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2) 求 D(X+Y)。 答：(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5/36。

解 fX(x)

3 x

f(x,y)dy (2 x y)dy 2

0 0

1

0 x 1其他

，同理

fY(y)

3 y

f(x,y)dx 2

0

0 y 1其他

在0<x<1, 0<y<1内，f(x, y) fX (x) fY(y)，所以X与Y不相互独立。

1

E(X)

xf(x,y)dxdy

x(

32

x)dx

512

，由x与y的对称性知 E(Y)=

512

111

E(XY)

xyf(x,y)dxdy

xdx y(2 x y)dy

x(

23

x3

)dx

16

1

E(X)

2

xfX(x)dx

2

x(

2

32

x)dx

14

E(Y)

2

D(X)=E(X2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，

ρXY

111

， XY 0，故X与Y相关。

因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36, 。 4．(10分)设(X, Y)的联合概率密度为 f(x,y)

1 0

y x, 0<x<1

其他

求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)， XY。 答：E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6， XY=0。 提示：利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2

及ρXY

5．(8分) 设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布， 求Z=min{ X1, X2, …, Xn}的数学期望与方差。 答：E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。 提示：FZ(z)=1-(1-FX (z))n。

6．(10分) 某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，

求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。 答：E(X)=1，D(X)=1。

提示：采用随机变量的分解方法求数学期望。设

1Xi

0

若第i名学生拿到自己的学生证若第i名学生没拿到自己的学生证

，i 1, 2, , n

则 X=X1+X2+…+Xn， 注意：X1，X2，…，Xn不相互独立， 因此在计算方差时，应利用公式

n

n

D(X) D( Xi)

i 1

D(X

i 1

i

) 2

1 i j n

Cov(Xi,Xj)

四、综合题 (共18分)

1．(8分) 设某种商品每周需求量X是服从区间[10, 30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，

求最优进 …… 此处隐藏：764字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……