勾股定理经典例题(教师版)

八年级下册数学

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2

22

=13－12 =25 ∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得

222

AB=AC－BC

22

=5－3 =16 ∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在

中，

，

，

. 求：BC的长.

思路点拨：由条件

，

长. 解析：作 ∴

于D，则因

（

，

，想到构造含

角的直角三角形，为此作

于D，则有

，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的

的两个锐角互余）

，

∴（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在

根据勾股定理，在

中，

.

中，

八年级下册数学

∴

举一反三【变式1】如图，已知：

.

.

，，于P. 求证：.

解析：连结BM

，根据勾股定理，在

而在

∴ 又∵

∴ 在

， （已知），

.

中，根据勾股定理有

.

中，则根据勾股定理有

.

中，

∴.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，

BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= ∴S

=S△ABE-S△CDE=

AB²BE-==

。 。

四边形ABCD

CD²

DE=

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60

°方向走了

到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

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（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。 解析：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60° ∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，

AB= 由勾股定理可得： 所以

（2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向 举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得： CD＝

＝

＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）． 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

八年级下册数学

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

论．

解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中

同理

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结

∴图（3）中的路线长为

图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH

＝ 及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC

＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此图中总线路的长为4EA+EF

＝

3＞2.828>2.732

∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线． 举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

八年级下册数学

解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０c …… 此处隐藏：5022字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……