2000年考研数学一真题

如题

2000年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学一试题详解及评析

一、 (1)

填空题

∫

=【答】

π

4

.

【详解】

∫

=∫

2

2

2

1sint∫2cos2tdt=

π

π

4

（2）曲面x+2y+3z=21在点(1, 2,2)的法线方程为【答】

x 1y+2z 2

. ==

16 4

2

2

2

【详解】 令 F(x,y,z)=x+2y+3z 21， 则有

F'x(1, 2,2)=2x|

F

'

(1, 2,2)

=2,

y

(1, 2,2)=4y|(1, 2,2)= 8,

(1, 2,2)

F'z(1, 2,2)=6z|

因此所求法线方程为：

=12.

x 1y+2z 2

==

16 4

（3）微分方程xy+3y=0的通解为. 【答】 y=C1+

''

'

C2. x2

'

【详解】 令p=y，则原方程化为

p+

其通解为 p=Cx. 因此，

y=Cxdx=C1

3

'

3

p=0, x

∫

3

C2 C 2C

x=C1+2, C2= 2x 2

如题

1 x1 1 12

（4）已知方程组23a+2x2=3无解，则a= . 1a 2 x3 0

【答】 -1.

【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有

121#1 12#1 1 12

23a+2#3 → 0 1 → 0 1a1# 1a 2#0 0a 2 3# 1 00

1

a##

(a 3)(a+1)

1 1 #a 3

可见。当a= 1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解. 注意，当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为发生的概率相等，则P(A)= . 【答】

1

,A发生B不发生的概率与B发生A不9

2. 3

1

,PAB=PAB 9

【详解】 由题设。有 PAB=

()()()

因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由PAB=PAB， 有 P(A)PB=PAP(B)

即有 P(A) 1 P(B) = 1 P(A) P(B), 可得 P(A)=P(B)

从而 PAB=PAPB= 1 P(A) =解得 P(A)=

二、选择题

且f（1）设f(x),g(x)是恒大于零得可导函数，时，有

（A）f(x)g(b)>f(b)g(x) （B）f(x)g(a)>f(a)g(x) （C）f(x)g(x)>f(b)g(b) （D）f(x)g(x)>f(a)g(a)

【 】

'

()()

()()

()()()

2

1

, 9

2. 3

则当a<x<b(x)g(x) f(x)g'(x)<0，

如题

【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知

f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x)

<0, 2 gx =gx

因此当a<x<b时，有

'

f(x)f(b)

>

gxgb即 f(x)g(b)>f(b)g(x)， 可见（A）为正确选项. （2）设S:x+y+z=a（A）（C）

2

2

2

2

(z≥0),S1为S在第一卦限中的部分，则有

S

S1

∫∫xdS=4∫∫xdS （B）∫∫ydS=4∫∫xdS

S

S1

∫∫zdS=4∫∫xdS （D）∫∫xyzdS=4∫∫xyzdS

S

S1

S

S1

【 】

【答】 应选（C）.

因此（A）、【详解】 显然，待选答案的四个右端均大于零，而S关于平面x=0和y=0对称，（B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有

∫∫zdS=4∫∫zdS=4∫∫xdS

S

S1

S1

（3）设级数

∑u

n=1n

∞

n

收敛，则必收敛的级数为

∞

un

（A）∑( 1) （B）∑u2n

nn=1n=1

∞

∞

∞

（C）

∑(u

n=1

2n 1

u2n). (D)

∑(u

n=1

n

+un+1).

【 】

【答】 应选（D）.

【详解】 利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举反例说明是不正确的.例如：

∞∞

11nun

11 收敛，但 =发散，可排除（A）； ()()∑∑∑lnlnnnnnn=2n=2n=2

n

∞

∞∞

12

收敛，但∑un=∑发散，可排除（B）； n=1n=1n

∞

∑(

1)

n=1

n

如题

∑( 1)

n=1

∞

n 1

∞∞

11 ∞1 1收敛，但∑(u2n 1 u2n)=∑ + ≥∑发散，可排除（c）.

n n212n n=1nn=1n=1

（4）设n维列向量组α1,",αm(m<n)线性无关，则n维列向量组β1,",βm线性无关的充分必要条件为

（A） 向量组α1,",αm可由向量组β1,",βm线性表示. （B） 向量组β1,",βm可由向量组α1,",αm线性表示. （C） 向量组α1,",αm与向量组β1,",βm等价. （D） 矩阵A=(α1,",αm)与矩阵B=(β1,",βm)等价.

【 】

【答】 应选（D）. 【详解】 用排除法.

（A）为充分但非必要条件：若向量组α1,",αm可由向量组β1,",βm线性表示，则一定可推导β1,",βm线性无关，因为若β1,",βm线性相关，则r(α1,",αm)<m,于是α1,",αm必线性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m=1时，α1=(1,0),β1=(0,1)均为单个非零向量是线性相关的，但α1并不能用β1线性表示.

考虑α1=(1,0),β1=(0,1)均线性无关，但β1（B）为既非充分又非必要条件.如当m=1时，并不能由α1线性表示，必要性不成立；又如α1=(1,0),β1=(0,0)，β1可由α1线性表示，但β1并不线性无关，充分性也不成立.

（C）为充分但非必要条件，若向量组α1,",αm与向量组β1,",βm等价，由α1,",αm线性无关知，r(β1,",βm)=r(α1,",αm)=m,因此β1,",βm线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑α1=(1,0),β1=(0,1)均线性无关，但α1与β1并不是等价的，必要 …… 此处隐藏：4859字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……