2013高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5
时间：2025-04-04
有效,简洁
第2课时 一元二次不等式的应用
知能目标解读
1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式. 2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题. 3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 4.解决相关实际应用问题.
重点难点点拨
重点：1.解简单的分式不等式与高次不等式. 2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.
难点：利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.
学习方法指导
解不等式的关键问题就是保证转化的等价性. （1）分式不等式一般先移项通分，然后利用
f x >0(或<0)型转化为f(x)·g(x)>0（或<0），再求解.gx对于
f x ≥0（或≤0），一定不能忽视去掉g(x)=0的情况. gx（2）含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应根据题目条件的特点选取方法.
（3）高次不等式一般分解因式后用标根法求解，但要注意x的高次项系数为正. （4）不等式恒成立求字母取值范围问题：
在给定区间上不等式恒成立，一般地，有下面常用结论： ①f(x)<a恒成立， f(x) max<a; ②f(x)>a恒成立， f(x) min>a.
（5）关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题（a≠0条件下）:
①方程ax+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. ②方程ax+bx+c=0有两正根
2
2
方程ax+bx+c=0有一正一负两实根
2
③方程ax+bx+c=0有零根 c=0.
2
有效,简洁
④方程ax2
+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根）
方程ax2
+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形）
方程ax2
+bx+c=0一根大于k,另一根小于k（解法类似于一正一负根的情形）.则需
⑤方程ax2
+bx+c=0两根都在（m、n）内. 则需 ⑥方程ax2
+bx+c=0一根在（m、n）内，另一根在（n、p）内. 则需
方程ax2
+bx+c=0一根在（m,n）内，另一根在（p，q）内.则需
思路方法技巧
命题方向 分式不等式的解法
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x2 4x 1
［例1］ 不等式2<1.
3x 7x 2
［分析］ 解分式不等式一般首先要化为
f x >0（或<0）的标准形式，再等价转化为整式不等式或gx
化为一次因式积的形式来用"穿针引线法"，借助于数轴得解.
2x2 3x 122
［解析］ 解法一：原不等式可化为2>0 (2x-3x+1)(3x-7x+2)>0
3x 7x 2
解得原不等式的解集为｛x|x<
11
或<x<1，或x>2｝. 32
解法二：原不等式移项，并因式分解得
2x 1 x 1 >0 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0,
3x 1x 2在数轴上标出(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)＝0的根，并画出示意图，如图所示.
可得原不等式的解集为｛x|x<
11
或<x<1，或x>2｝. 32
［说明］ 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再进行求解. 变式应用1
解不等式：
［解析］ 原不等式
2x 1
≤1. x 1
2x 1x 2
-1≤0 ≤0
x 1x 1
故原不等式的解集为｛x|-2≤x<1｝. 命题方向 高次不等式的解法
［例2］ 解下列不等式:
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（1）(x+1)(1-x)(x-2)>0; (2)x-2x+3<0;
(3)x(x-1)(x+1)(x+2)≥0.
［分析］ 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答.
［解析］ （1）原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),当y=0时，各因式的根分别为1，2，-1，如图所示
可得不等式的解集为｛x|x<-1或1<x<2｝.
（2）原不等式可化为（x+1）(x-3x+3)<0,而对任意实数x，恒有x-3x+3>0(∵Δ=（-3）-12<0). ∴原不等式等价于x+1<0, ∴原不等式的解集为｛x|x<-1｝.
(3)∵方程x(x-1)(x+1)(x+2)=0的根依次为0，1，-1，-2，其中1为双重根，-1为三重根，（即1为偶次根，-1为奇次根），如图所示，由"穿针引线法"可得
∴不等式的解集为｛x|-2≤x≤-1，或x≥0｝.
［说明］ 解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，"遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过"，如上图. 变式应用2
解不等式(x-3)(x+2)(x-1)(x-4)>0. ［解析］ 令(x-3)(x+2)(x-1)(x-4)=0，得 各因式的根分别为-2,1,3,4.
将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图
∴原不等式的解集是{x|-2<x<1或1<x<3或x>4}. 命题方向 不等式恒成立问题
［例3］ 函数f(x)=mx-mx-6+m.
(1)若对于m∈［-2,2］，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围； (2)若对于x∈［1，3］，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
［分析］ 在（1）中，由已知m的取值范围，要求x的取值范围，因此需要把f(x)转化为m
的函数，
2
2
2
2
3
2
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2
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