高等数学 极限的运算法则与性质

第一章第三节

函数与极限

极限的运算法则与性质

主要内容：一、极限的运算法则

二、极限的性质

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一、极限运算法则定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则(1) ( 2) ( 3) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim f ( x) g( x ) A B , 其中B 0.

2

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推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则lim[cf ( x )] c lim f ( x ).

常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .n n

3

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二、求极限方法举例例1 求 lim 解 lim ( xx 2

x x2

3

1

x 2

3x 5

.2

2

3 x 5 ) lim xx 2 2

lim 3 x lim 5x 2 x 2

( lim x ) 3 lim x lim 5x 2 x 2 x 22 2 3 2 5 3 0,

lim

x x2

3

1

lim ( x 1 )3

x 2

3x 5上页

x 2

lim ( x 3 x 5 )2 x 2

2 13

7 3

.

3结束

4

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小结:x x0

1. 设 f ( x ) a 0 xx x0n

n

a1 x

n 1

a n , 则有n 1

lim

f ( x ) a 0 ( lim x ) a 1 ( lim x )n x x0

an

a0 x0

a1 x0

n 1

a n f ( x 0 ).

2. 设 f ( x )

P(x) Q(x)

, 且 Q ( x 0 ) 0,

则有

x x0

lim

f (x)

x x0

lim P ( x )

P ( x0 ) Q( x0 )

x x0

lim Q ( x )

f ( x 0 ).

若 Q ( x 0 ) 0,首页 上页

则商的法则不能应用

.

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例2 求 lim解

x x2

2

1

x 1

2x 3

..

x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零

(

0 0

型)

先约去零因子lim x x2 2

x 1后再求极限( x 1 )( x 1 ) ( x 3 )( x 1 )

.

1

x 1

2x 3

lim

x 1

lim

x 1 x 3

x 1

1 2

.

(消去零因子法)返回 下页 结束 铃

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例3 求 lim解

2x 7x

3 3

3x 4x

2 2

5 1

x

..(

x 时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大

型)

先用 x 去除分子分母2x 7x3 3

3

, 再求极限 .2 3 x 4 x 5 x 1 x3

lim

3x 4x

2 2

5 1

x

lim

x

2 7

.

7

3

7

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小结:当 a 0 0 , b 0 0 , m 和 n 为非负整数时有 a0 ,当 n m , b 0 0,当 n m , ,当 n m ,

lim

a0 x

m n

a1 x

m 1 n 1

am bn

x

b 0 x b1 x

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例4

求 lim (n

1 n2

2 n2

n n2

)..

解

n 时 , 是无限多个无穷小之和

先变形再求极限.lim (n

1 n2

1

2 n2

n n2

) lim

1 2 n n2

n

n(n 1) n2

lim 2n

lim

1 2

n

(1

1 n

)

1 2

.

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1 x, 例5 设 f ( x ) 2 x 1,

x 0 x 0

, 求 lim f ( x ).x 0

解limx 0

x 0 是函数的分段点f ( x ) lim ( 1 x ) 1 ,x 0

, 两个单侧极限为y

y 1 x

limx 0

f ( x ) lim ( xx 0

2

1 ) 1,1y x 12

左右极限存在且相等,故 lim f ( x ) 1 .x 0

o

x

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定理(复合函数的极限

运算法则)设函数x x0

u (x)

当 x x 0 时的极限存在且等于 但在点 x 0 的某去心邻域内

a ,即 lim ( x ) a ,

( x ) a ,又 lim f ( u ) A ,u a

则复合函数x x0

f [ ( x )] 当 x x 0 时的极限也存在，且u a

lim f [ ( x )] lim f ( u ) A .

意义：x x0

lim f [ ( x )]

令 u ( x)a lim ( x )x x0

lim f ( u )u a

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例6

求 lim ln sin x .x

2

解

令 u sin x

因为 lim sin x =1x

2

故原式

lim ln uu 1

= ln 1

0.首页 上页 返回 下页 结束 铃

求极限类型小结1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极

限;b.消去零因子法求极限;

c.同除最大者法求极限;d.利用左右极限求分段函数极限. e.利用无穷小运算性质求极限;

3、复合函数的极限运算法则13

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三、极限的性质-P361. 函数极限的局部有界性如果 lim f ( x ) A , 那么存在常数x x0

M 0和 0,

使得当 0 x x 0 时， 有 f ( x ) M .

2. 函数极限的唯一性定理14

若 lim f ( x ) 存在, 则极限唯一.上页 返回 下页 结束 铃

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3. 函数极限的局部保号性如果 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ), 那么x x0

存在常数

0 , 使得当 0 x x 0 时，有

f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ).

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