清华大学数字信号处理课件--第二章6离散系统的系统函数、系统的频率响应

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六 、离散系统的系统函数、 系统的频率响应LSI系统的系统函数H(z): 单位抽样响应h(n)的z变换H ( z ) Z T [ h ( n )]

n

h(n ) z

n

Y (z) X (z)

其中：y(n)=x(n)*h(n)

Y(z)=X(z)H(z)

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) : 系统的频率响应 单位圆上的系统函数 H (e

j

单位抽样响应h(n)的Fourier变换H (ej

) H (z)

z e

j

D T F T [ h ( n )]

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1、因果稳定系统1)因果： R x z 2)稳定： 序列h(n)绝对可和，即

而h(n)的z变换的Roc:

n

n

h (n ) h (n ) z n

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续 3)因果稳定：Roc: 1 z H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内

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例：一系统的极点有： 0 .2 ej / 4

,

0 .2 e

j / 4

,

0 .4 ,

2e

j / 6

,

2e

j / 6

,

1 .5

问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统j Im [ z ]j

6

2ej

4

0 .2 e

0 .4

1 .51

R e[ z ]

00 .2 e

j

4

j

6

解：因果系统：稳定系统：

z 20 .4 z 1 .5

2e

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2、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：

ak 0 N

N

k

y (n k )

m 0 M

b

M

m

x (n m )

取z变换

ak z Y ( z)

k

k 0

m 0

bm z

m

X (z)

则系统函数H (z) Y (z) / X (z)

m 0 N

M

bm z z

m

K

M

(1 c m z z

1

) )

ak 0

k

k

(1 dk 1

m 1 N

1

k

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例 ： 已 知 离 散 L S I系 统 的 差 分 方 程 ： y (n ) 3 4 y ( n 1) 1 8 y (n 2) x(n ) 1 3 x ( n 1)

其 中 ： x ( n )为 输 入 ， y ( n )为 输 出 。 1) 求 系 统 函 数 ， 指 出 系 统 的 零 极 点 ； 2) 若 该 系 统 是 因 果 稳 定 的 ， 指 出 系 统 的 收 敛 域 ； 3) 求 该 因 果 稳 定 系 统 的 单 位 抽 样 响 应 。

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解 ： 1) 对 差 分 方 程 两 边 取 z变 换 ：

Y (z)

3

z Y (z)

1

1 8

z Y (z) X (z) 1

2

1 3

z

1

X (z) 1

4 系统函数：H (z) Y (z) 1

1 3

z

1

1

z

3 3 1 1 2 1 1 1 1 X (z) 1 z z 1 z 1 z 4 8 2 4 1 1 1 零点：z , 0 极点：z , j Im [ z ] 3 2 4

2) 由 于 系 统 为 因 果 稳 定 系 统 ， 故收敛域： z 1 2 1 / 3

0 .50 .2 5

R e[ z ]1

0

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3) 对 H (z) 求 z 反 变 换 即 得 单 位 抽 样 响 应 h (n ) , 用部分分式法1 1 z z z 3 3 H z 1 1 1 1 1 1 1 z 1 z z z 2 4 2 4 1 1

1 z H z A1 A2 3 1 1 1 1 z z

z z z 2 4 2 4

z H z 1 3 A1 R es z 1 1 2 z z 1 z z 2 2 4

1

z 1 2

10 3

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z H z 1 3 A 2 R es z 1 1 4 z z 1 z z 4 2 4 10 H (z) 3 z 1 2 z 7 3 z 1 4 z

1

z 1 4

7 3

根 据 Roc :

z n

1 2

, 查 表 2 -1 得n

10 1 7 1 h(n ) u n 3 4 3 2

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3、系统的频率响应的意义1)LSI系统对复指数序列的稳态响应：x(n ) ej n

n

y (n )

m

h (m )ej

j ( n m )

e

j n

m

h (m )e

j m

e

j n

H (e

)

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2)LSI系统对正弦序列的稳态响应x ( n ) A c os( 0 n )

y (n ) A H (e

j 0

) c os{ 0 n a rg[ H ( e

j 0

)]}

输出同频 0 正弦序列 j H ( e ) 加权 幅度受频率响应幅度 相位为输入相位与系统相位响应之和

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3)LSI系统对任意输入序列的稳态响应y (n ) x(n ) * h(n )j j j

Y (e

) X (e

) H (ej

)j

y (n )

1 2

H (e

) X (e

)e

j n

d

其中： x ( n )

1 2

X (e 1

j

)e

j n

d

微分增量(复指数):

2

X (e

j

)e

j n

d

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4、频率响应的几何确定法利用H(z)在z平面上的零极点分布

H (z) K

M

(1 c m z z

1

) Kz )

(1 dk 1

m 1 N

1

( N M ) m 1 N

(z c (z dk 1

M

m

) )

k

k

频率响应：H (ej

) Ke

j ( N M )

M

(e

j

cm ) H (ej

(ek 1

m 1 N

) e

j a rg[ H ( e

j

)]

j

dk )

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令

j j cm e cm m e m j j d k e d k lk e k

则频率响应 …… 此处隐藏：961字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……