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半导体物理与器件

第四章

平衡半导体

求解半导体中两种载流子浓度的方法 半导体掺杂带来的影响 本征和非本征半导体 载流子的浓度与能量、 载流子的浓度与能量、温度之间函数关系的统计规律 两种载流子浓度与掺杂之间的函数关系 费米能级位置与半导体材料中掺杂浓度之间的函数关系

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平衡半导体平衡状态或热平衡状态，是指没有外界影响(如电压、 平衡状态或热平衡状态，是指没有外界影响(如电压、 电场、磁场或者温度梯度等)作用于半导体上的状态。 电场、磁场或者温度梯度等)作用于半导体上的状态。 在半导体中主要关注产生和复合过程的动态平衡 平衡态——不随时间变化(动态平衡的结果) 不随时间变化( 平衡态 不随时间变化 动态平衡的结果) 费米能级是描述热平衡状态的重要参数 平衡态是研究非平衡态的出发点

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§4.1 半导体中的载流子 载流子： 载流子：在半导体内可以运动形成电流的电子或 空穴) (空穴)载流子的定向运动形成电流； 载流子的定向运动形成电流； 在半导体中有两种载流子： 在半导体中有两种载流子：电子和空穴 半导体中电流的大小取决于：载流子的浓度， 半导体中电流的大小取决于：载流子的浓度，载流子 的运动速度(定向的平均速度) 的运动速度(定向的平均速度) 在本章内容中， 在本章内容中，我们仅仅关注热平衡状态下的载流子 的浓度 对载流子浓度的推导和计算需要用到状态密度和分布 函数

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导带电子和价带空穴的浓度n 导带电子和价带空穴的浓度 0和p0方程电子浓度 根据状态密度和分布函数的定义， 根据状态密度和分布函数的定义，我们知道某一能量 值的电子浓度为： 值的电子浓度为：

n ( E ) = gc ( E ) f F ( E )对应于该能量的状态密度Ec '

对应于该能量的占据几率

则整个导带范围内的电子浓度为： 则整个导带范围内的电子浓度为：

n0 = ∫ g c ( E ) f F ( E )dEEc

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空穴浓度 某一能量值的空穴浓度为： 某一能量值的空穴浓度为：

p ( E ) = gc ( E ) (1 f F ( E ) )对应于该能量的空位几率

对应于该能量的状态密度

则整个导带范围内的空穴浓度为： 则整个导带范围内的空穴浓度为：

p0 = ∫ ' g c ( E ) (1 f F ( E ) )dEEv Ev

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将上节得到的状态密度和分布函数代入公式得到

n0 = ∫

Ec '

4π ( 2mn h3

* 3/ 2

)

Ec

状态密度函数 费米分布函数

1 ( E Ec ) E EF 1 + exp kT波尔兹曼近 似

dE

p0 = ∫

Ev

4π ( 2m p h3

* 3/ 2

)

Ev '

1 dE ( Ev E ) EF E 1 + exp

kT

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对于本征半导体， 对于本征半导体，费米能级位于 禁带中心(附近) 禁带中心(附近)

费米能级的位置需保证 电子和空穴浓度的相等 如果电子和空穴的有效 质量相同， 质量相同，状态函数关于 禁带对称。 禁带对称。 对于普通的半导体( ) 对于普通的半导体(Si) 来说，禁带宽度的一半， 来说，禁带宽度的一半， 远大于kT( 远大于 (~21kT),从 ， 而导带电子和价带空穴的 分布可用波尔兹曼近似来 代替fF(E)=0

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因而可化简为： 因而可化简为：

n0 = ∫

∞

4π ( 2mn h3

* 3/ 2

)

Ec

( E EF ) ( E Ec ) exp dE kT

为了方便计算，变量代换： 为了方便计算，变量代换：

E Ec η= kT

积分项被称为伽 马函数 = π / 2

n0 =

4π ( 2mn kT )*

3/ 2

h3

( Ec EF ) ∞ 1/ 2 exp ∫0 η exp ( η ) dη kT

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因而： 因而：

( Ec EF ) exp kT ( Ec EF ) = N c exp kT 2π mn kT n0 = 2 2 h * 3/ 2

其中N 为导带的有效状态密度( 其中 c为导带的有效状态密度(数量级一般 在1019):

2π mn kT Nc = 2 2 h *

3/ 2

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相应的计算表明空穴浓度： 相应的计算表明空穴浓度：

2π m p kT ( EF Ev ) p0 = 2 exp 2 h kT ( EF Ev ) = N v exp kT * 3/ 2

其中N 其中 v为价带的有效状态密度

2π m p kT Nv = 2 2 h *

3/ 2

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有效状态密度和有效质量有关 在一定温度下， 在一定温度下，特定半导体的有效状态密度为常量 平衡半导体的载流子浓度和费米能级E 平衡半导体的载流子浓度和费米能级 F的位置密切相 关 Ec EF 指数项里的分子总 n0 = N c exp 为负数， 为负数，这保证了 kT 指数项小于1 EF Ev 指数项小于1,对应 于载流子浓度小于 p0 = N v exp kT 状态密度的事实

(

)

(

)

常温下(300K): 常温下(300K):

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计算过程中近似假设的合理性 波尔兹曼近似的合理性： 一般位于禁带中， 波尔兹曼近似的合理性：EF一般位于禁带中，和导 带底和价带顶的距离都比较远 在状态密度的推导过程中我们使用的E-k关系(抛 关系( 在状态密度的推导过程中我们使用的 关系 物线近似)实际上只在能带极值附近成立 物线近似) 价带底E 将积分范围从导带顶E 将积分范围从导带顶 c’(价带底 v’)推广到了正 无穷大∞ 负无穷大-∞),这样做是否合适？ ),这样做是否合适

无穷大∞(负无穷大 ),这样做是否合适？这样做的合理性在于：导带(价带)中的电子(空穴) 这样做的合理性在于：导带(价带)中的电子(空穴)基本集中 在导带底(价带顶) 在导带底(价带顶)附近

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影响n 影响 0 和p0 的因素 mn* 和 mp* 的影响 — 材料的影响 温度的影响NC、NV ~T

2π kTmn* Nc = 2 h2 2π kTm p* Nv = 2 h2

3/ 2

3/ 2

NC ∝ T 3/ 2 NV ∝ T3/ 2

T↑, T↑,NC、NV↑

f(EC) 、 f(EV) ~T

Ec EF exp kT EF Ev exp kT

T↑,几率↑ T↑,几率↑

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EF 位置的影响EF→Ec,Ec-EF↓,n0↑ — EF越高，电子(导带)的填充 越高，电子(导带) , 水平(几率)越高，对应N 施主杂质浓度)较高； 水平(几率)越高，对应 D(施主杂质浓度)较高； 越低，电子(价带) EF→Ev,EF-Ev↓,po↑ — EF越低，电子(价带)的填充 ， 水平越低(空位几率越高),对应N 受主杂质浓度) ),对应 水平越低(空位几率越高),对应 A(受主杂质浓度)较 高。

与掺杂有关， no和po与掺杂有关，决定于掺 杂的类型和数量。 杂的类型和数量。

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( Ec EF ) ( EF Ev ) n0 p0 = N c N v exp exp kT kT ( Ec Ev ) Eg / kT = N c N v exp = Nc Nve kT 本征半导体： ,(n 本征载流子浓度) 本征半导体：n0=p0=ni,(ni本征载流子浓度) n型半导体：n0>p0 型半导体： p型半导体：n0<p0 型半导体：

当温度一定时， 之积与E 无关;这表明 这表明： 当温度一定时，n0 、p0之积与 F无关 这表明：导带电 子浓度与价带空穴浓度是相互制约的， 子浓度与价带空穴浓度是相互制约的，这是动态热平 衡的一个反映。 衡的一个反映。

n0 p0 = ni 2

非简并半导体的载流子浓度乘积只与本征材料有关

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本征载流子浓度本征半导体：不含有杂质原子的半导体材料。 本征半导体：不含有杂质原子的半导体材料。本征半 导体中，载流子主要来源于本征激发。 导体中，载流子主要来源于本征激发。 本征半导体中导带电子浓度ni等于价带空穴浓度pi, 本征半导体中导带电子浓度 等于价带空穴浓度 称为本征载流子浓度， 称为本征载流子浓度，用ni来表示 本征激发的过程同时产生一个电子和一个空穴 本征半导体的费米能级称为本征费米能级E 本征半导体的费米能级称为本征费米能级 Fi。 在本征半导体中，电中性条件： 在本征半导体中，电中性条件：no = po

n0 p0 = ni ni = ni = N c N v e2

Eg / kT

可见本征载

流子浓度只和温度、禁带宽度 有关。 可见本征载流子浓度只和温度、禁带宽度Eg有关。

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本征载流子浓度和温度、 本征载流子浓度和温度、禁带宽度的关系

n0 p0 = ni ni = ni = N c N v e2

Eg / kT

禁带宽度E 越大， 禁带宽度Eg越大，本征载流子浓度越低

禁带宽度Eg越大，本征载流子浓度越低 禁带宽度E 越大，

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本征载流子浓度和温度、 本征载流子浓度和温度、禁带宽度的关系

Eg 1 3 ln ni = A + ln T 2 2k T

T↑,lnT↑,1/T↓,ni↑ 计算出的硅材料本 征载流子浓度与实 测的本征载流子浓 度有偏离， 度有偏离，这是因 为我们使用的有效 质量等参数是在低 温下测出的， 温下测出的，而随 着温度变化E 着温度变化E-k关 系可能变化， 系可能变化，因而 理论值与实际值有 偏差。 偏差。例4.3,E4.3-4.5 4.3,E4.3-

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本征费米能级位置

由本征半导体的电中性条件： 由本征半导体的电中性条件： no

= po

EC E F E F Ev N C exp = Nv kT kT

EC E F E F EV ln N C = ln NV kT kTEC + EV kT NV EF = + ln 2 2 NC

3 kT NV ln = Emidgap + = Emidgap + kT ln * 2 NC 4 mn

m p*

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当空穴有效质量大时，相对应价带有效状态密度大， 当空穴有效质量大时，相对应价带有效状态密度大， 因而费米能级向导带偏移以保证导带电子与价带空穴 相等。 相等。相反亦然 * *

m p > mn , EF > Emidgap m p* < mn* , EF < Emidgap

由于kT是个很小的能量值(常温下),对于常见的 由于 是个很小的能量值(常温下),对于常见的 是个很小的能量值 ), 半导体( 、 、 半导体(Si、Ge、GaAs)来说，其禁带能量要远 )来说， 大于kT, 大于 ，从而使得费米能级相对于禁带中央的偏移 总是很小(几十meV)(例4.4、E4.6) )(例 、 总是很小(几十 )( ) Eg(Si): 1.12eV50meV

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§4.2 掺杂原子与能级 为什么要掺杂？ 为什么要掺杂？半导体的导电性强烈地随掺杂而变化

硅中的施主杂质与受主杂质