(新课标人教版A)数学必修二：3-1-1直线的倾斜角与斜率

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率

重庆市中山外国语学校

廖双平

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【课标要求】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.掌握求直线斜率的两种方法. 3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素. 【核心扫描】 1.求直线的倾斜角和斜率.(重点) 2.常与三点共线、平面几何知识等结合命题. 3.准确把握与 y 轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率.(易混点)

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自学导引 1.倾斜角的概念和范围 当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴 正方向 与 直线 l 向上 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴 平行 或 重合 时，我们规定它的倾斜角为 0° .直 线的倾斜角 α 的范围是[0°,180°)

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试一试：如图中所标直线的倾斜角正确的是________.

提示 (3)

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2.斜率的概念及斜率公式定义 倾斜角不是 90° 的直线，它的倾斜角的 正切值 叫做这条直线的斜率，记为 k,即 k= tan α 当 α=0° 时， k=0 ;当 0° <α<90° 时， k>0 ; 取值范围 当 90° <α<180° 时， k<0 ;当 α=90° 时，斜 率 不存在 过两点的直线 的斜率公式 直线经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率 y2-y1 k= (x1≠x2) x2-x1

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想一想： 直线的倾斜角越大， 直线的斜率也越大， 这句话对吗？ 提示 这句话是不对的，当倾斜角 α=0° 时，k=0;当 0° <α< 90° 时，k>0,并且随 α 的增大 k 也增大；当 α=90° 时，k 不存 在；当 90° <α<180° 时，k<0,并且随 α 的增大 k 也增大.

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名师点睛 1.直线的倾斜角与斜率定义中应注意的问题

内容

应注意的问题

名称直线的 倾斜角 (1)直线与x轴相交；

(2)x轴正方向；(3)直线向上的方向 (1)当α=90°时，斜率不存在； (2)当α≠90°时，k=tan α课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练

斜率定义

(1)斜率公式与 P1,P2 两点的位置无关，而与 已知 P1(x1,y1), 两点横、纵坐标之差的顺序有关.(即 x2-x1, P2(x2,y2) y2-y1 k= x2-x1 y2-y1 中 x2 与 y2 对应，x1 与 y1 对应) (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”, 也 就是直线不与 x 轴垂直，而当直线与 x 轴垂 直时，直线的倾斜角为 90° ,斜率不存在

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2.直线的倾斜角与斜率的区别与联系 (1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们都反映

了直 线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是直线倾 斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用 斜率比用倾斜角更方便.

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(2)直线的倾斜角α与斜率k的关系如下表： 平行(或重合) 于x轴 0° 由左向 右上升 0°<α<90 ° (0,+∞) 单调增 垂直 于x轴 90° 不存 由右向左 上升 90°<α<18 0° (-∞,0) 单调增

直线情况

α的大小

k的取值范围 k的增减性

0

在

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题型一

已知倾斜角求斜率

【例 1】 已知直线 l1 的倾斜角为 α1=15° ,直线 l1 与 l2 的交点 为 A,直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120° ,求直线 l2 的斜率 k2. [思路探索] 画出图象，求得直线的倾斜角，利用公式 k=tan α 求得斜率.

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解

设直线 l2 的倾斜角为 α2,如图所示，可知 α2=120° +α1=

120° +15° =135° . ∴k2=tan α2=tan 135° =-1. ∴直线 l2 的斜率为-1. 规律方法 斜率是根据倾斜角来定义的，二者既有联系，又有

区别，在应用时要注意辨析.

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【变式 1】 如图所示，直线 l1 的倾斜角 α1=30° ,直线 l1⊥l2, 求 l1,l2 的斜率.

解

3 l1 的斜率 k1=tan α1=tan 30° = . 3

∵l2 的倾斜角 α2=90° +30° =120° , ∴l2 的斜率为 k2=tan 120° =-tan 60° =- 3.

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题型二

斜率公式及其应用

【例 2】 已知坐标平面内三点 A(-1,1),B(1,1),C(2, 3+1). (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角. (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化 范围. y2-y1 [思路探索] (1)利用 k= 及 k=tan α 求解； x2-x1 (2)先求出 AC、BC 斜率，进而求出 k 的范围.

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解

由斜率公式得，

1-1 kAB= =0, 1- -1 3+1-1 kBC= = 3, 2-1 3+1-1 3 kAC= = . 3 2- -1 倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180° . 又∵tan 0° =0,∴AB 的倾斜角为 0° . 又∵tan 60° = 3,∴BC 的倾斜角为 60° . 3 又∵tan 30° = ,∴AC 的倾斜角为 30° . 3课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练

(2)如图，当斜率 k 变化时，直线 CD 绕 C 点旋转，当直线 CD 由 CA 逆时针方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，