解：（Ⅰ）f'(x) 1 lnx，(x 0)

111

，且当x (0,)时f'(x) 0，x (, )时f'(x) 0 eee11

因此：f(x)的极小值为f()

ee

令f'(x) 0，解得：x

（Ⅱ）g(x) f(x 1) (x 1)ln(x 1)

令h(x) (x 1)ln(x 1) mx，则h'(x) ln(x 1) 1 m

注意到：h(0) 0，若要h(x) 0，必须要求h'(0) 0，即1 m 0，亦即m 1 另一方面：当m 1时，h'(x) ln(x 1) 1 m 0恒成立； 故实数m的取值范围为：m 1

（III）构造函数F(x) alna xlnx (a x)ln F'(x) 1 lnx ln

a x

，x a 2

a x2x

1 ln 2a

x

x a， 0 a x 2x，F'(x) 0，F(x)在(a, )上是单调递增的；

a b

) 0 2

a x

(x a)ln2 另一方面，构造函数G(x) alna xlnx (a x)ln2

2xx

G'(x) ln ln2 ln 0

a xa x

故F(b) F(a) 0，即：f(a) f(b) 2f(

G(x)在(a, )上是单调递减的

故G(b) G(a) 0即：f(a) f(b) 2f(综上，0 f(a) f(b) 2f(

a b

) (b a)ln2 2

a b

) (b a)ln2 2